軌跡の除外点について質問です

質問

動点Pが直線l:2x+4y-1=0上を動く。
原点Oを端点とする半直線OP上にOP・OQ=2を満たすQをとるとき、点Qの軌跡を求めよ。

という問題なのですが、答えが(x-2)^2+(y-4)^2=20ただし点(0,0)を除く。でした。

答えは分かったのですが、なぜ(0,0)という除外点が出てきたのか、どうすれば(0,0)を出すことが出来るのかわかりません。解答よろしくお願いします。

回答No.5

tmppassenger

もうちょっと書いておくと、

で、3より a=2X + 4Y （但し 『 a>0』）なので、合わせて
X^2 + Y^2 = 2(2X + 4Y) （但し『 a= (1/2) (X^2 + Y^2) = 2X + 4Y > 0』）、従って (X-2)^2 + (Y-4)^2 = 20 （但し『 a= (1/2) (X^2 + Y^2) = 2X + 4Y > 0』）というのがでる。
で、今の場合当然(X-2)^2 + (Y-4)^2 = 20 ⇔ X^2 + Y^2 = 2(2X + 4Y) ⇔ (1/2) (X^2 + Y^2) = 2X + 4Y だったから、結局結論としては、

(X-2)^2 + (Y-4)^2 = 20（但し X^2 + Y^2 > 0）となって、結局(X-2)^2 + (Y-4)^2 = 20（但しX=Y=0の場合は除く）となります。

お礼

ありがとうございます！本当にわかりやすくて助かりました！！丁寧に教えていただきありがとうございました！

回答No.4

tmppassenger

一旦写真の解き方とすると、最初にX=as, Y=at (『a>0』)と書いてありますが、この『a>0』というのがずっとついて回る。

よって、3も本当は a=2X +4Y （但し a>0)。但し、こちらの条件は分りにくいので、別の方を使った方が良い。

つまり、OP・OQ = 2より、√(s^2 + t^2) * √(X^2 + Y^2) = 2というのはいいですが、ここで 2の、s=X/a, t=Y/a （但し『a>0』）を代入すると、{√((X/a)^2 + (Y/a)^2)} * √(X^2 + Y^2) = 2（但し『a>0』）、よってX^2 + Y^2 = 2a （但し『a>0』)というのがでて、これからX^2 + Y^2 >0、つまり X=Y=0の場合は除く、というのが出てくる。

回答No.3

tmppassenger

補足にはった解き方、というのは、写真の事ですか？

回答No.2

tmppassenger

とは言ったものの、先に言っておくと、Qが原点の場合はOQ = 0なので、OP・OQ = 0にしかならないから、Qが原点にないことは明らかです。なので、本来は解答を作るなかで、どっかの段階で「Qが原点にない」ことは出て来るはずですね。

で、もうちょっとヒントを出すと、解答の方向としては、例えばQの座標を(X, Y)、Pの座標を(x, y)と表した時、QはOP半直線OPの上、かつOP・OQ=2という条件から、x, yをそれぞれX,Yの式として一旦表します。そして、そのx, yが 2x+4y-1を満たすから.... というやり方ですると思います。
そこで、x, yをそれぞれX,Yの式として表したとき、多分「分母」に何か出てきませんか？

いずれにせよ、一旦作ってみた解答を補足に下さい。

補足

補足にはった解き方で解きました。よろしくお願いします。

回答No.1

tmppassenger

一度あなたの解答を書いてもらえますか？本来は、その解答の中に「点(0,0)を除く」とうのが出てくるはずです。あなたの解答があれば、どこで見逃しているかが、こちらが見て分かると思います。