この計算の解き方を教えて下さい

質問

f(x)＝x2-2mx+m+6とする。
0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)＞0となる定数mの値の範囲は＿＿＜m＜＿である。

という問題なのですが、0≦x≦8をどのように利用して、f(x)＞0となる定数mの値の範囲を求めたらいいのかわかりません。
ぜひ解き方を教えて下さい。

回答No.2

kk0578 · ベストアンサー

解答に至るまでは自分で解いた方が理解できると思うので、考え方だけ書きます。

まず、元のしきf(x)を変形すると、

f(x)=x2－2mx＋m＋6
=(x-m)2－m2＋m＋6

よって、このグラフは、下に凸の放物線で、軸がｘ＝mです。

0≦x≦8の範囲でこのグラフが常にx軸より上にあればいいわけです。
この場合、場合わけが必要です。

(1) 0＞mのとき

軸のx軸が負の場所にあるので、条件を満たすには、x＝０のときにｙ＞０であればいいのです。
x=0のとき、f(0)=m＋6なので、f(0)>0になるときのmの値の範囲はすぐに求められますね。
これで出てきたmの範囲に0>mを合わせてmの値の範囲が出てきます。

(2) 0≦m≦8のとき

判別式をDとすると、D>0になればいい。

(3) 8＜mのとき

(1)と同様に考えると、ｘ＝８のとき、f(8)＞0であればよい。

これで(1)～(3)で出てきた範囲を合わせると答えになります。

お礼

詳しい回答ありがとうございます！

回答No.1

gohtraw

ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフは放物線になりますね。元の式を変形すると
ｆ（ｘ）＝（ｘ－ｍ）＾２－ｍ＾２＋ｍ＋６
ですから、この放物線の軸はｘ＝ｍです。
　ｍ＜０、あるいは８＜ｍのとき、ｆ（０）＞０かつｆ（８）＞０であれば0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)＞0となります。
　一方、０＜＝ｍ＜＝８のとき、ｆ（ｘ）の最小値、つまりーｍ＾２＋ｍ＋６＞０であれば0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)＞0となります。