重力多体系（Ｎ体系）

質問

i番目の天体が他の天体から受ける力は

Ｆｉ＝－Σ（Ｎ、ｊ＝１）ＧＭｉＭｊ（Ｒｉ－Ｒｊ）/｜Ｒｉ－Ｒｊ｜^3・・・(1)　となる

つまり関数Ｖ（Ｒ１，Ｒ２，・・Ｒｎ）＝－Σ（i＜ｊ）ＧＭｉＭｊ/｜Ｒｉ－Ｒｊ｜と定義すると

(1)は∂　Ｆｉ＝－∂Ｖ（Ｒ１，Ｒ２・・・Ｒｎ）/∂Ｒｉ
　　　　　＝（∂Ｖ/∂ｘi、∂Ｖ/∂ｙi、∂Ｖ/∂ｚi）

と書けることを示せ。

よろしくお願いします＞＜

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

|Ri-Rj| = √{ (xi-xj)^2+(yi-yj)^2+(zi-zj)^2 }
より，
∂/∂xi (1/|Ri-Rj|) = -(xi-xj)/|Ri-Rj|^(3/2)
∂/∂xj (1/|Ri-Rj|) = (xi-xj)/|Ri-Rj|^(3/2)

面倒なので，
f(i,j) = -GMiMj(xi - xj)/|Ri-Rj|^(3/2) = -f(j,i)
と書くと，
Fix = Σ[j]f(i,j)

力Fiのx成分をとって，
Fix = -∂V/∂xi = ∂/∂xiΣ[k<j] GMkMj/|Rk-Rj|
= Σ[k<j] [ ∂xk/∂xi・f(k,j) - ∂xj/∂xi・f(k,j) ]
= Σ[j(>i)]f(i,j) - Σ[k(<i)]f(k,i)　　※　i　は固定されていることに注意
= Σ[j(>i)]f(i,j) + Σ[k(<i)]f(i,k)
= Σ[j]f(i,j)　　※　f(i,i)=0
他の成分についても同様。
（証明終）

※∂xk/∂xi = δki = （k=iのとき1，k≠iのとき0）

となると思います。

お礼

ありがとうございました<(_ _)>

回答No.2

yokkun831

ごめんなさい。|Ri-Rj|^(3/2)はことごとく|Ri-Rj|^3の間違いです。