発散と回転の計算

質問

解答の分からない問題をいただいたのですが、勉強不足で解くことができません…。
解答までの解説をいただけると嬉しいです。

問題

ベクトルv#が以下のように与えられているとき、それぞれdiv v# およびrot v# を求めよ。ただしc#は定ベクトル、r#=xi#+yj#+zk#　（i#,j#,k#はx,y,z方向の単位ベクトル）、r=|r#|である。

v#=c#/r

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

c=(c_x,c_y,c_z)=ic_x+jc_y+kc_z
|r|=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)
とおくと

v=c/|r|=(c_x,c_y,c_z)/√(x^2+y^2+z^2)
v_x=c_x/|r|, v_y=c_y/|r|, v_z=c_z/|r|

div v=∂v_x/∂x+∂v_y/∂y+∂v_z/∂z
=-(xc_x+yc_y+zc_z)/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)

rot v=
| i , j , k |
|∂/∂x ,∂/∂y ,∂/∂z |
|v_x ,v_y,v_z|
=(∂v_z/∂y-∂v_y/∂z,∂v_x/∂z-∂v_z/∂x,∂v_y/∂x-∂v_x/∂y)
=(zc_y-yc_z,xc_z-zc_x,yc_x-xc_y)/(x^2+y^2+z^2)^(3/2)

回答No.2

151A48

r=√(x^2 +y^2 +z^2)　ですから，定ベクトルを c=c1i+c2j+c3k とおくと
ベクトルv=(c1i+c2j+c3k)/√(x^2 +y^2 +z^2)
c1/√(x^2 +y^2 +z^2)　のxについての偏微分は-c1x/r√r と計算できます。ｊ，ｋ成分についても同様。発散の定義式にあてはめれば，
div v =-(1/r√r)(c1x+c2y+c3z)

同様に回転は
c3/√(x^2 +y^2 +z^2)のyについての偏微分は-c3y/r√r ,
c2/√(x^2 +y^2 +z^2)のzについての偏微分は-c2z/r√r のように計算できますから，
rot v ={ (-c3y+c2z)/r√r }i +{(-c1z+c3x)/r√r }j+{(-c2x+c1y)/r√r}k

ベクトルと実数の区別をつけていませんが，常識的に読み解いてください。
偏微分の計算，発散，回転の意味は分かっているものとします。