確立変数

質問

統計学の分野での疑問です。

問：離散型確率変数X,Yの分布をP(X=xi) = pi (i=1,2) , P(Y=yj) = qj (j=1,2)とする。
P(X=xi,Y=yj) = rij (i,j=1,2)とすると
　ri1 + ri2 = pi (i=1,2)
　r1j + r2j = qj (j=1,2)
が成立することを確立の公理「A∩B=φならばP(A∪B)=P(A)+P(B)」を用いて示せ。

i=1として考えてみて
q1∩q2 = φ なので
r11∩r12 = φ　となり
r11∪r12 = r11 + r12　にはなるのですが
r11 + r12 = p1　にはたどり着けません。
根本的なところから勘違いしている気がするのですが
どのように考えていけば確率の公理を使って説明することができるのでしょうか。

回答No.1

Tacosan

q1 とか q2 は確率なので q1∩q2 なんて書けないんだけどね.... こんな書き方されたら, 最初の行だけ見てアウトにするかも.
さておき, 「X = xi かつ Y = yj」という事象を Eij と書くことにすると, これらは全部独立だよね?

補足

問題に確率の公理って書いてあったので
q1∩q2って考えてしまってました…
よくよく考えたら確率でそういう書き方なんてできないですよね…。

「X = xi かつ Y = yj」という事象を Eij と書くとそれらがすべて独立なのはわかります
（E11 と E12が同時に起こりうることはないため）
つまり r11 , r12　はそれぞれ独立なため
r11 + r12　とはP(X=p1)の時と同じ意味として捕らえるってことでいいのでしょうか？
（ P(Y=qj) はどの値でも P(X=p1)の起こりうる確率の中に含まれている）