最小二乗法のn次曲線について

質問

最小二乗法のn次曲線について

Pn(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+……+a1x+a0
の時、最小二乗誤差E2は、
E2=Σ(i=1,m)(yi-Pn(xi))^2
=Σ(i=1,m)yi^2-2Σ(i=1,m)Pn(xi)yi+Σ(i=1,m)(Pn(xi))^2
=Σ(i=1,m)yi^2-2Σ(i=1,m)(Σ(j=0,n)ajxi^j)yi+Σ(i=1,m)(Σ(j=0,n)ajxi^j)^2

ここまではわかるんですが、次の式になる理由が分りません。
E2=Σ(i=1,m)yi^2-2Σ(j=0,n)aj(Σ(i=1,m)yixi^j)+Σ(j=0,n)ajΣ(k=0,n)ajak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))
一番後ろの項Σ(j=0,n)ajΣ(k=0,n)ajak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))はどうやったらでてくるんでしょうか？
なんでいきなりkがでてくるんでしょうか？
jとiの組を２乗してるんだからkというのがでてくるのは変だとおもうんですが、どういう考え方なんでしょうか？

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

>なんでいきなりkがでてくるんでしょうか？

(Σi xi)^2の手の和の二乗を計算するときの常套手段です。

(Σi xi)^2＝(Σi xi)(Σk xk)

のように二乗するときには和の添え字を買えて掛け算にします。
たとえば、i=1,2とすると

(Σi xi)^2＝(x1+x2)(x1+x2)=x1(x1+x2)+x2(x1+x2)
=x1(Σi xi)+x2(Σi xi)=(x1+x2)(Σi xi)

ここで最後の(x1+x2)を和の記号を遣って書くときに、
後ろと同じ添え字iを使ってしまうと混乱するので、添え字を変えるわけです。

同じように、積分の二乗を計算するときには積分変数を変えます。

お礼

お二方ともありがとうございました。

回答No.1

nag0720

Σ(j=0,n)ajΣ(k=0,n)ajak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))
は間違い。

Σ(j=0,n)ajΣ(k=0,n)ak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))
か、まかは、
Σ(j=0,n)Σ(k=0,n)ajak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))
です。

Σ(i=1,m)(Σ(j=0,n)ajxi^j)^2
=Σ(i=1,m)((Σ(j=0,n)ajxi^j)(Σ(k=0,n)akxi^k))
=Σ(i=1,m)(Σ(j=0,n)ajxi^j(Σ(k=0,n)akxi^k)))
=Σ(i=1,m)(Σ(j=0,n)Σ(k=0,n)ajakxi^(j+k))
=Σ(j=0,n)Σ(k=0,n)ajak(Σ(i=1,m)xi^(j+k))