行列 一次変換 証明

質問

xはn次元ベクトルでx≠0　
Aはn×n行列で以下の条件があります
任意の縦、横一列の要素の和が全て１
このとき
x=Axを満たすxの要素は
全て1/nになるというものです
どのように証明するのか検討もつきません
どなたか教えてください

回答No.7

Tacosan · ベストアンサー

問題を整理すると
・A = (a_ij) は全ての i, j に対して 0 < a_ij < 1 かつ全ての i に対して Σ_j a_ij = 1
・x = (x_i) は x = ax かつ Σ_i x_i = 1
という仮定で
・全ての i に対して x_i = 1/n
を示す, ということでいいでしょうか?
これでよければ, 背理法でほぼ一瞬だと思います.
対称性から x_1 = max_j x_j > 1/n を仮定して矛盾を導けばいい. x_1 = Σ_j a_1j x_j と Σ_j a_1j = 1 を見比べれば簡単.
#2 でも指摘されているように, 実は「縦 1列足すと 1」は関係なかったりする.

回答No.6

OurSQL

「回答番号：No.1」への「お礼」と「補足」を読んで、「A が単位行列なら反例が存在する」と書くためにログインしようとしたら、「回答番号：No.3」への「お礼」が追加されていたので、予定変更となりました。

状況を整理すると、例えば n = 3 の場合、行列 A = ( a_ij ) の例として、

a_11 = 1/2,　　a_12 = 1/3,　　a_13 = 1/6

a_21 = 1/6,　　a_22 = 1/2,　　a_23 = 1/3

a_31 = 1/3,　　a_32 = 1/6,　　a_33 = 1/2

なら、条件を満たしていますね？

この場合、

x = t [ x_1, x_2, x_3 ] （ t は、転置を表します）

と置いたとき、確かに、

x_1 = x_2 = x_3 = 1/3

以外では、等式

x = A x

は成り立たないような気がします。

すぐには証明できないかもしれず、もしかしたら週末になるかもしれませんが、回答したいと思います。
ただ、私よりもはるかに有能な回答者二名がすでに参加していますから、案外あっさりと解決するかもしれません。
私としても、むしろその方が嬉しいかも ＾＾；

回答No.5

Tacosan

個人的には「任意の縦、横一列の要素の和が全て１」の時点で意味不明なわけだが, そもそも
x = Ax なら 2x = A (2x) だよなぁ.

お礼

問題が不適切で混乱を招くような書き方になってしまいました
申し訳ありません
解答1の方のお礼に訂正したものを書きましたので
もしよろしければ目を通し解答していただけると助かります

回答No.4

OurSQL

それとも、ひょっとしたら、「行列 A の、任意の行の成分 n 個と任意の列の成分 n 個、あわせて 2n 個の成分の和が 1 になる」ということでしょうか。

その場合、「x = A x を満たす x の成分がすべて 1/n になる」と仮定すると、行列 A の任意の行の成分 n 個の和は 1 になるので、行列 A の任意の列の成分 n 個の和は 0 になるはず。

任意の行の成分 n 個の和が 1 になることより、A のすべての成分の和 = n

また、

任意の列の成分 n 個の和が 0 になることより、A のすべての成分の和 = 0

明らかな矛盾です。

回答No.3

OurSQL

もしかして、私が問題文の意味を取り違えているのでしょうか。
そうでなければ、この命題は偽で、反例はたくさんあります。
特に、単位行列を知っていれば、瞬時に反例が見つかるでしょう。

お礼

先ほど補足したのですがまだ違ってました
明らかに単位行列だと成り立ってないですね
今まで計算して確かめたものは
全てのa_ijがすべて1未満のものだったので

0<a_ij<1 ∀i,j

だと思います
何回も何回も本当に申し訳ないです

回答No.2

alice_44

「縦、横一列」ってのが、たいへん気に入らないが…
縦が「列」、横は「行」だから、「行列」なんだがな。

ともかく、縦は置いといて、
「横一列の要素の和が全て１」のほうを式で書いてみよう。
何かが見つかることになっている。

お礼

問題として不適切でした　申し訳ありません
解答1に訂正したものを書きましたので
もしよろしければお答えいただけると嬉しいです
また行列についての言葉の意味も以後気をつけます
ご指摘ありがとうございました

回答No.1

OurSQL

どのように証明するのか見当もつかないのなら、反例を探してみてはどうでしょうか。

お礼

問題として不適切なところがありました申し訳ありません
以下訂正です
xはn次元ベクトルでx≠0　 ×
xはn次元ベクトルでxの要素x_iの総和Σx_i = 1　○
返事が遅れてしまい見てる人もいないかもしれませんが
もしよろしければお答えいただけると嬉しいです

補足

もう1つ訂正です
Aの要素a_ijは全て0以上の値をとります
何度も訂正して申し訳ありません