全ての行列からなる集合の濃度は？

質問

対称行列は、縦ベクトルと横ベクトルの積で表すことができますから、
ｎ次元ベクトルは、ｎ次元平面と、同じ濃度
したがって、すべて対称行列からなる集合の濃度は、実数の濃度
というのは、わかります。
すべての行列の集合は、対称行列の冪集合と考えてられるのでしょうか？
対角線論法で、確認しようとしたのですが、よくわかりません。
アドバイス、お願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

対角線論法の出番は全然ないと思う．多分イロイロ混乱してるんでしょうね．

　要するに，行列Aから実数への単射になるような写像を具体的に構成してやればいいんです．
　たとえば，

　無限行無限列の実行列Aの第n行第m列の要素は実数xです．これを10進表現で表すことにして，ただし，x＜0 のときはxの絶対値の10進表現の先頭に"1"を，x≧0のときは先頭に"2"を付けることにします．これら，先頭に"1"か"2"を付けたやつを「xのコード」と呼ぶことにしてc(x)と書きましょう．だからc(x)は正の実数の10進表現になっています．
　さて，「整数部分の(2^n)(3^m)(5^r)桁目は【Aの第n行第m列の要素xのコードc(x)の整数部分のr桁目】と同じであり，小数点以下(2^n)(3^m)(5^s)桁目は【Aの第n行第m列の要素xのコードc(x)の小数点以下s桁目】と同じであり，そしてほかの桁はすべて"0"であるような実数z」を作れば，これで行列Aが実数zに写せた．しかも，そういうzをひとつ与えると（因数分解の一意性によって）Aが一意的に再現できるから，この写像は無限行無限列の実行列の集合から実数の集合への単射である．

　というのはどうです？

お礼

明快な回答、ありがとうございます。

回答No.6

Tacosan

「無限次元」といっても「可算無限次元」なら連続体濃度のままのような気がする.

「K上の m×n行列」は結局「1～m, 1～n の 2個の値から K への関数」とみることができて, 可算無限次元の実行列は「2個の整数を引数にとる実関数」と等価. ということはその濃度は
aleph^(aleph0×aleph0) = aleph.

非可算無限次元だと.... 「非可算」の度合いによるんだっけ?

回答No.5

alice_44

だって、無限次元だと、実際に
連続体濃度より大きくなってしまうものね。

回答No.4

stomachman

ANo.3です．
どうも舌足らずで伝わらなかったかな．えーと，「どうです？」と書いたのは，「もうひとひねり必要だから，そこは自分でやってね」という意味です．だって，ANo.3のままだと，有限列有限行の行列ならいけるけど，無限行無限列の行列だと実数に写そうにも無限大になってしまうでしょ？

お礼

元々の疑問は、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7085963.html
のNo2の「お礼」に書いた疑問なので、、、

可算無限次元の行列でいいと思っていますが、
「ヒルベルト空間には、非可算無限次元のベクトルは入らない」という量子力学では、そう思うだけなので、
数学でいうヒルベルト空間では、違うかも知れません。
その辺のところも、お教え頂ければ、助かります。

補足

すいません。
有限次元でOKなら「可算無限次元」でも、深く考えず　OKと思っていました。
行列と言っても、この場合は、ヒルベルト空間での演算子に限定した疑問なので、
「可算無限次元」の議論で十分と考えています。

回答No.2

muturajcp

(m*n)行列は(m*n)次元ベクトルと(見なすことができるから)同じ濃度

お礼

ありがとうございます。
m*n行列は ｍ次元ベクトル内にｎ次元ベクトルが記述されたものですね。
わかりました。

回答No.1

Tacosan

「対称行列は、縦ベクトルと横ベクトルの積で表すことができます」ってどういうこと?

そもそもなんでこんな面倒な方向で考えるのか.

補足

おっきな勘違いでした。
すみません。