逆行列

質問

逆行列の証明です。
わかる方、教えてください。

ｎ次元のベクトル、x_1～x_k (1≦k≦n)は１次独立であると仮定したとき、（g(αβ)）＝x_α ・ x_β
（注…xは太字で表していませんがベクトルなので、右辺はもちろん内積です。ちなみにここでの添字α,βはベクトルの要素を表すのではなく、ベクトルの番号を表します）

を(α,β)要素とするようなk次の正方行列Ｇ＝（g(αβ)）を考える。
このとき、Ｇの逆行列Ｇ(-1)＝（g(αβ)）(-1)が必ず存在することを証明してください。

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おそらく行列式を用いて証明するのでしょうが、はじめの１次独立という仮定をうまく利用できません。２次形式を用いてみたら？というアドバイスもいただいたのですが、こっちのほうがもっと手付かずです。
どなたかわかる方、書き表し方が見にくくてすみませんが教えてください。
あと、（g(αβ)）(-1)は（g(αβ)）の逆行列です。

回答No.1

aquarius_hiro

こんにちは。

ベクトル x_α の第i成分を、x_αi とおきます。

x_α = (x_α1, x_α2, .... x_αn)

x_αi を α行i列成分とする行列を X とおきます。

x_α が一次独立なら、det X ≠ 0 です。

また、

G = XX^{t}

ですね。

det G = det(XX^t) = detX・detX^t = (detX)^t

ですが、 det X≠0 なので、det G ≠ 0 ですね。

ゆえに、G の逆行列が存在します。

お礼

お礼のお返事が遅くなって申し訳ありません。
大変助かりました！
ありがとうございました。