対数と極限についてです

質問

lim[x→0]logf(x)=logaが成立するとき

lim[x→0]f（x）＝a

が成立する理由は何ですか？

一般には極限と交換はできないと思います。

例えば極限と積分など（項別積分？だっけ）

対数の場合はどういった理由で交換できるのですか？

回答No.6

k14i12d

そう。
つまり、logf(x)=loga
のとき、f(x)=a以外に上式を満たすことができないからf(x)→aが言えるってこと、sinやcosの場合他の対応関係(収束値の可能性)も考えられるでしょ？ってこと。

補足

では、高校生でもわかるように言うと、対数関数は連続で単調増加なので

lim[x→0]logf(x)=loga　⇒

lim[x→0]f（x）＝a

が成立するということでしょうか？

では、一般にfが連続で単調な関数のとき、

limf(g(x))=f(a)　⇒　limg(x)=a

ということが成立するのですか？

回答No.5

k14i12d

全単射じゃなくてもよいが、単射である必要はある。例えば、x→∞でsinf(x)が1/2に収束したところで、f(x)→π/6とは言えませんよね。

補足

ちょっとよくわからないですけど、

あるnが存在して

f（x）＝π/6　+　２nπ　または　5π/6　+　２nπ

と表せるということですか？

回答No.4

k14i12d

＃２の通り、指数対数の連続性と、あと一つ、０<xでxとlogxが一対一対応（ここでは全単射）だからです。

補足

全単射性はなぜ必要なのでしょうか？

回答No.3

Tacosan

式だけで追っていくと難しいかもしれない. #2 への補足にある式でも, 実は
e^(limlogf(x))=lime^(logf(x))
のところが微妙にあやしいし.

極限の定義 (と指数関数の連続性) から導けることは間違いない (はず: 私が勘違いしていなければ) んだけど... 極限の定義は出てきてます?

補足

極限の定義は出てきてます?とはどういうことでしょうか？

回答No.2

Tacosan

指数関数が定義域で連続だから.

補足

指数関数の連続性をどう使うのですか？

a=e^(loga)=e^(limlogf(x))=lime^(logf(x))=limf(x)

ということですか？

なんかこの式から成立するような気がします。

回答No.1

naniwacchi

移項して、
lim log{ f(x) }- log(a)
＝ lim [ log{ f(x) }- log(a) ]
＝ lim [ log{ f(x)/a } ]

より、
lim [ log{ f(x)/a } ]＝ 0
よって、f(x)/a→ 1となり、f(x)→ a (x→0)ではダメですかね？

お礼

a=0は含みませんでした、すみません

解答ありがとうございます。

補足

lim [ log{ f(x)/a } ]＝ 0
よって、f(x)/a→ 1となり

とありますがその理由が知りたいのです

またこの場合a=0のときを特別視する必要があります。