実数のコーシー列の積

質問

有理数の数列A={an},B={bn} がそれぞれ実数a,bに収束する時、AB=an*bn はa+bに収束する事を言えというもんだいです。

定義『Sを実数のコーシー列{an}とし、anは実数aに収束し、もし正の整数rが与えられた時に、|an-a|＜Φ(1/r) n>Nを満たすnが存在する場合、Sの極限はaと言える』
と式変形を使って、

|anbn-ab|=<|anbn-an*b|+|an*b-ab|=|an||bn-b|+|b||an-a|...(1)と変形したのですが、ここから先に行けません。何とかして(1)<Φ(1/r1)見たいな感じに出来れば、
abに収束が証明できると思うのですが。anは有界なので|an|=<M(Mは実数)とできる所までは分かりますがこのMの取り扱いと、|b|の取り扱いに
手間取ってます。どなたか分かる方教えてください。分かるようで分かんなくて困ってます。宜しくお願いします。

回答No.2

koko_u_

>a+bに収束する事を言えというもんだいです。
ab ね。

> 定義『Sを実数のコーシー列{an}とし、…
激しく意味不明。

ただのε-δの問題です。コーシー列は関係ありません。

回答No.1

Tacosan

数列 B が b に収束するから |b| < M となる定数 M > 0 が存在するとしてかまわない.
そこで
|an bn - a b| ≦ |an (bn - b)| + |b(an - a)|
= |an||bn - b| + |b||an - a|
< M(|bn - b| + |an - a|)
あとは A, B がそれぞれ a, b に収束することを使えば終わり.
ところで「Φ(1/r)」ってどういう意味?