l＾2 のコーシー列と収束について

質問

l＾2　は、無限個の実数の列ｘ＝（x_1 , x_2 , ・・・）でノルム　||ｘ||＝（Σ｜x_k｜＾2）^（1/2）＜∞　を満たすもので線形かつ完備なバナッハ空間になりますが、

１．l^2の元で無限個の実数の列を、無限個の整数の列、としたときもバナッハ空間でしょうか

２．l^2の部分部分集合（部分空間ではありません）は完備でしょうか

よろしくお願いします。

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

「収束するコーシー列をどのように構成したらよいのでしょうか」

⇒　l^2の元で整数の列から構成されるもの全体を、l^2(Z)と書くことにします。l^2(Z)が完備であることを証明しましょう。

a_1, a_2, … を l^2(Z) におけるコーシー列とします。すなわち、

[1]　　a_k ∈ l^2(Z) for k = 1, 2, 3, …

[2]　　lim[k→∞]sup[i>k, j>k]|| a_i - a_j || = 0

　　 （sup[i>k, j>k]|| a_i - a_j || は、i と j が k より大きい範囲での|| a_i - a_j ||の上限）

です。これが極限値を持つことを言えばいいわけです。

ところで、a_i や a_j の成分がすべて整数ですから、

[3]　　|| a_i - a_j || ≧ 1　　if　　 a_i ≠ a_j

です。よって、これの上限が0に収束するということは、一定値以上の i と j についてa_i - a_j = 0であること、言い換えれば、一定値以上の i について a_i がすべて等しいことを意味します。すなわち、

[4]　　「あるkが存在し、i≧k なるすべての i について　a_i = a_k 」

です。このような列は、当然、a_k に収束します。

お礼

証明ありがとうございました！

達人ですね。

回答No.2

ramayana

（１について）

バナッハ空間ではありません。

バナッハ空間とは、ノルムが定義されたベクトル空間であって、距離空間として完備なものをいいます。

ご質問のような整数の列全体は、関数||x||によって距離空間になるし、また、完備でもあります。しかし、ベクトル空間でない（例えば、xが整数の列だったとしても、(1/2)xは整数の列になると限らない）ので、バナッハ空間とはいえません。

（２について）

完備でない部分集合もあります。

例えば、αをl^2の元として、αに収束するコーシー列を選びます。そのようなコーシー列はたくさんありますが、とくに、列の中にαが現れないように選ぶことができます。すると、l^2からαだけを取り除いた集合は、当然、完備になりません（上のようなコーシー列に極限がないから）。

補足

早々に書き込みありがとうございます。
１，２ともに的確なご指摘ありがとうございました。

１でｌ＾２を整数の列とした場合も完備、とのことですが、収束するコーシー列をどのように構成したらよいのでしょうか。

回答No.1

noname#155904

意味が分かりません。
質問するときは私にわかるように書いてください。