位相（コーシー列、入門レベル）

質問

レポート課題なのですが、以下の問題の証明の仕方を教えてください。

問、Q（有理数全体の集合）の2つのコーシー列｛an},{bn}について、

　（１）{an+bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。
　（２）{an－bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。

（１）は、｛an｝→a、｛bn｝→bを仮定して、任意の実数εに対して、
　　　　　自然数NaとNbで、
　　　　　　　ｎ＞Naを満たす任意のｎは、｜an－a|＜ε/2
　　　　　　　ｎ＞Nｂを満たす任意のｎは、｜bn－b|＜ε/2
　　　　　が存在する。
　　　　　そこで、
　　　　　　　N＝max(Na、Nb)
　　　　　とすれば、
　　　　　ｎ＞Nを満たす任意のｎは｜an－a|＜ε/2と｜bn－b|＜ε/2を
　　　　　満たす。
　　　　　2式を足すと、
　　　　　　　|（an－a）+(bn－b)｜≦｜an-a｜+|bn-b|<ε/2+ε/2=ε
　　　　　となる。

分かりにくいのですが、こんな感じでいいのでしょうか。
また、「Qの中の」という部分が証明できていない気がします。

（２）は、2式を引いても、不等式の右辺は変わらないと思うのですが、
（１）と同様に考えればいいのでしょうか。

何かアドバイス等あれば、教えてください。おねがいします。

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

有理数全体で考えたときはコーシー列は収束列とは限らないので、
an→a、bn→bとするのはまずく、
｜(am±bm)-(an±bn)｜＝｜(am-an)±(bm-bn)｜
≦｜am-an｜+｜bm-bn｜
を利用して証明するのだと思います。

お礼

分かりやすい回答ありがとうございます。
私は、コーシー列の定義の読み込みが不十分でした。
証明の際は、必ず定義に立ち返ろうと思います。

回答No.3

koko_u_

Q(有理数体) の完備化 R(実数体)は通常コーシー列を用いて構成されるので、コーシー列の収束先 a, b ∈ R を用いて議論するのは多分適切でないのでしょう。

その意味で、実数体 R を構成するまでは Q の距離 d : Q×Q -> Q も有理数を値域として考える必要があるのかもしれませんね。

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.1 の方の回答と重なりますが……。

> （１）は、｛an｝→a、｛bn｝→bを仮定して、任意の実数εに対して、
この仮定はまずいです。
Ｑの中ではコーシー列が収束することは保障されていません。
ついでにいえば、εを実数からとってくるのも、問題かもしれません。

基本的には、（１）の証明の絶対値の中が an - am （など）になるだけですが。

「Ｑの中の」というのは、単に、an + bn という数列の項が、Ｑの要素だといっているだけだと思います。

ご参考まで。
a(0) = 2
a(n + 1) = (a(n) + 2 / a(n)) / 2
という数列は、Ｑの中のコーシー列ですが、Ｑの範囲では収束しません。
（√２　に収束します）

回答No.1

Tacosan

確認したいんだけど, 「コーシー列」ってどう定義しています? 普通は
{an}がコーシー列 if ∀ε∃N∀m, n ≧ N |am - an| < ε
くらいだと思う (< かな? ≦ かな?) けど, この定義だとすると「コーシー列が収束する」という性質は使わなくていい. というか, コーシーは確かに収束するけどその収束先がコーシー列を考えている距離空間の要素であるかどうかはわからない.
でおまけ:
不等式を引き算しちゃダメ.
Q は四則演算について閉じていて, しかも, {an} がコーシー列なら, {-an} もコーシー列.