極限値の計算

質問

以下の極限値の計算を考えています。

cを定数として、

lim_n→∞ (c^n－１)(log(c^n－１)/n ー log c)

を求めよ。

普通にやると、n→∞で
(c^n－１)→∞
(log(c^n-1)/n ー log c)→n log c/n ー log c=0
で、∞×0の計算になってしまいうまく求まりません。

具体的な値を代入して行くとどうやら０に漸近するのは確かなようなのですが、解析的に表現できずにいます。
よろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

>c^n-1→∞

というところをみるとc>1と仮定して良いですね．

(c^n－１)(log(c^n－１)/n ー log c)

=(c^n-1)(log(c^n-1)^{1/n}-logc)

=(c^n-1)log{(c^n-1)^{1/n}/c}

=c^n(1-1/c^n)log{(c^n(1-1/c^n))^{1/n}/c}

=c^n(1-1/c^n)log{c(1-1/c^n)^{1/n}/c}

=c^n(1-1/c^n)log{(1-1/c^n)^{1/n}}

=(1/n)(1-1/c^n)log(1-1/c^n)/(1/c^n)

ここで

lim_{x→0}log(1-x)/x

=lim_{x→0}(-1/(1-x))/1(ロピタルの定理）

=lim_{x→0}(-1)/(1-x)=-1

であるので

lim_{n→∞}log(1-1/c^n)/(1/c^n)=-1

また

lim_{n→∞}(1-1/c^n)=1
lim_{n→∞}(1/n)=0

であるから，

lim_{n→∞}(1/n)(1-1/c^n)log(1-1/c^n)/(1/c^n)

=0・1・(-1)=0

お礼

そうです、c>1の仮定を書き忘れていました。

ロピタルの定理での鮮やかな解答、ありがとうございます。
確かに式展開を辿るとそうなっていますね。感動です。

迅速な回答ありがとうございました。