ax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+

質問

ax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β）(x-γ）と変形できることを示せ。

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

因数定理を証明しろってことなのかな？

z の多項式 f(z) が根 z=0 を持つとすると、
f(z) は 定数項が 0。よって、z で割り切れる。
定数項が 0 であることは、
f(z) を z の降冪または昇冪に整理して、
z=0 を代入してみれば判る。

x の多項式 F(x) が根 x=α を持つ場合は、
F(α+z) を z の多項式と見て、
上の補題を適用すれば解る。
F(α+z) が根 z=0 を持ち、z で割り切れるので、
z = x-α を代入すれば、
F(x) は x-α で割り切れている。

F(x) が x-α で割り切れれば、
F(x) / (x-α) は x の多項式である。
この多項式が根 x=β を持つとき…

…と繰り返してゆけば、
n 次多項式は n 個の一次式で割り切れ、
最後の商は定数式になる。
(根の存在自体は代数学の基本定理によるが、
質問の例では解の存在が仮定されているから、
その点は気にしなくてよい。)

最後の商を何か未定係数で置いて
一次式の積を展開してみれば、
最高次の係数の比較から、それが a であると判る。

証明の流れを見れば解るように、
これは、α,β,γ の中に同じものがあっても、
それを重解とみなせば、成り立つ。

回答No.9

koko_u_u

a = b = c = d = 0 の場合にもこの命題は成立するので、あまり「空気を読む」のに長けてしまうと数学的にはよろしくないでしょう。

回答No.8

alice_44

「α,β,γを解に持つとき」って、仮定されてる。
多項式が、重根も込めて 3 個の根を持つ
てことは、3 次多項式だということで、
a=0 の場合は除外されている
と見るのが、空気を読んだ解釈かと。

回答No.7

OurSQL

すでに「回答番号：No.4」に正解が書かれていますが、

>>ax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β）(x-γ）と変形できる

という命題は偽です。

「3次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β）(x-γ）と変形できる」という命題なら、真ですけれどね。

回答No.5

noname#119424

ミスった。ax^3+bx^2+cx+d≠a(x-α)(x-β)(x-γ)のところだが、
これは"ある実数xに対して"という仮定の元。だからx=α、β、γ
を代入してやるのはよくない。またax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つの
否定はax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γのうち少なくとも一つは解を持たないが正しい。
だからNo3の解答は間違い。

回答No.4

koko_u_u

いいえ。α、β、γ が異なる数かが仮定されていませんね。

回答No.3

noname#119424

いや、これ以上の説明はないと言っていい。ただあえて別の観点から見れば

「ax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つ⇒ax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)と表される」
を言い換えて
「ax^3+bx^2+cx+d≠a(x-α)(x-β)(x-γ)⇒ax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持たない」

これはx=α、β、γを代入して考えてみれば分かることで
実際x=α、β、γのときa(x-α)(x-β)(x-γ)=0よりax^3+bx^2+cx+d≠0
よってax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持たないことが言えたので元の命題も成立する。

回答No.2

sotom

問題文がヒントみたいだから、これ以上のヒントは無理ですね。
この問題が分からないのは、中学レベルの数学すら理解できていない事になります。

中3の因数分解と二次方程式あたりを読んだら分かりますよ。

回答No.1

kabaokaba

因数定理より
（終）

補足

因数定理よりどうしたんですか？？