a、b、c、dは実数の定数である

質問

方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ
その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである
このときa、b、c、dの値を求めよ

解の2つをα、βとするとそれらの共役複素数も解なのはわかりましたがそこからを教えてください

回答No.8

178-tall

>複素零点とはなんですか？

失礼。

複素根とか、虚数解のほうがふつうでしたね。
私的には、虚数解といわれると「純虚数の解」と考えてしまうもんで、つい。

お礼

結局複素零点とはなんだったんでしょうか
長い間ありがとうございました

回答No.7

178-tall

>複素根零点とはなんですか？

「複素零点」の誤打。

>また、「ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5i」
>(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4+5i)
>とはならないと思うんですが…

「ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5i」とは t+s=19+2i, t~s~=4+5i という意味なのですね。
見逃してました。

ならば ts=4-5i らしいから、
　　(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)
ならば OK なのでしょうか？

　　[修正版]
　　　↓
　　(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)　　　　　…(1)
と想定した場合、
　　(x - s~)(x - t~) = x^2 - (19-2i)x + (4+5i)　　　　…(2)

(1) の零点を勘定してみると、
　　s = 18.822 + 2.287i
　　t = 0.178 - 0.287i
らしい。

補足

修正ありがとうございます
複素零点とはなんですか？

回答No.6

178-tall

実係数 4 次方程式の複素根零点を {s, s~}, {t, t~} の 2 ペアとして、
　　(x - s)(x - s~)(x - t)(x - t~) = x^4 + ax^2 + bx^2 + cx + d

　　(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4+5i)　　　　　…(1)
と想定した場合、
　　(x - s~)(x - t~) = x^2 - (19-2i)x + (4-5i)　　　　…(2)
なので、(1), (2) の右辺を掛け合わせれば {a, b, c, d} を得る。

(1) の零点を勘定してみたところ、
　　s = 18.764 + 1.756i
　　t = 0.236 + 0.244i
らしい。

ひとまず、参考まで。

補足

複素根零点とはなんですか？
また、「ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5i」
(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4+5i)
とはならないと思うんですが…

回答No.5

178-tall

>x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i)
>のs+t~が19+2iなのは何故ですか？
>s~+tが19+2iの可能性もあると思います

そうですね。
ならば、何種類の解があるのか、試してみて。

補足

そもそも
x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i)
のとき、s+t~が19+2iだとすると、問題文の「他の2つの積は4+5i」からs~tが4+5iでした
すみません

回答No.4

178-tall

題意から、

　実係数 4 次方程式の複素根ペアを {s, s~}, {t, t~} として、
　　　(x - s)(x - s~)(x - t)(x - t~) = x^4 + ax^2 + bx^2 + cx + d
　　　(x - s)(x - t~) = x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i)

などと想定してみたら？

補足

x^2 - (s+t~)x + st~ = x^2 - (19+2i)x + (4+5i)
のs+t~が19+2iなのは何故ですか？
s~+tが19+2iの可能性もあると思います

回答No.3

naniwacchi

#1です。

p～sを直接求めると大変そうですね。（＾＾；
そこで再度問題を確認すると、求めたいものは・・・？
対称式の利用といったうまい変形を使わないとダメかもしれませんね。

補足

すみません、ピンと来ないのでもう少し教えてほしいです

回答No.2

gohtraw

四つの解をｐ±ｑｉ、ｒ±ｓｉとします。共役複素数どうしの和は実数になるので、問題文の「ある二つの和」というのは共役でない二つの解の和ということになります。従って
ｐ＋ｑｉ＋ｒ＋ｓｉ＝１９＋２ｉ
（ｐ－ｑｉ）（ｒ－ｓｉ）＝４＋５ｉ
これを展開して係数を比較すればｐ、ｑ、ｒ、ｓの連立方程式が出来ます。それを解くと四つの解が出ます。解が判ればもとの方程式も判りますね。

補足

実部と虚部を比較して
p+r=19
q+s=2
pr-qs=4
-ps-qr=5

1段の式よりr=19-p、2段の式よりs2-q

これらを3段へ代入して19p-p^2-2q+q^2=4
また、4段へ代入して-2p+2pq-19q=5
整理して
q=(2p+5)/(2p-19)
これを19p-p^2-2q+q^2=4に代入して整理すると
-4p^4+152p^3-1825p^2+172p+5586=0

となってしまったのですが如何すればいいでしょうか？

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

＞解の2つをα、βとするとそれらの共役複素数も解なのはわかりましたが
たとえば、一般に共役な複素数同士の和はどうなりますか？
そのことから、「どのような解の組合せ」が和や積の条件を与えているかが絞り込まれます。

未知数 4つに対して、条件式も 4つ与えられるので、
連立で解くことができます。

補足

条件式とは
p+r=19
q+s=2
pr-qs=4
-ps-qr=5
であってますでしょうか？
また、これらを上手く変形する方法はないでしょうか？