［数学］この問題が解けません、教えてください。。

質問

a/4+b/3+c/2+d=0のとき、
方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0は、0<x<1に必ず解を持つことを示せ。

という問題です。わかる方がいらっしゃりましたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

spring135

条件

a/4+b/3+c/2+d=0

のもとに

y=f(x)=ax^4/4+bx^3/3+cx^2/2+dx

を考える。

f(1)=a/4+b/3+c/2+d=0

f(0)=0

よってy=f(x)はx=0,1で0となり

その間で増加→減少、または減少→増加となり各々極大値または極小値を有する。

従って

f'(x)=ax^3+bx^2+cx+d

は0となる点を有する。

つまり方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0は、0<x<1に必ず解を持つ。

回答No.2

Tacosan

そんな感じですね＞#1. もうちょいと厳密にいくなら ax^3 + bx^2 + cx + d の原始関数 F(x) の中に
F(0) = F(1) = 0
となるものがある, と.

回答No.1

gohtraw

ｆ（ｘ）＝ax^3+bx^2+cx+dとすると、
∫ｆ（ｘ）ｄｘ　（ｘ＝０から１）　＝［ａｘ＾４／４＋ｂｘ＾３／３＋ｃｘ＾２／２＋ｄｘ］　（ｘ＝０から１）
　　＝ａ／４＋ｂ／３＋ｃ／２＋ｄ＝０
この積分がゼロになるということは、ｆ（ｘ）が常にゼロでない限りにおいてｆ（ｘ）＞０である範囲と
ｆ（ｘ）＜０である範囲があるということになるのではないかと。ということはどこかでｆ（ｘ）＝０と
なっているのでは？

きちんとは考えていませんが方向としてはこれで如何でしょう？