放物線 接線

質問

放物線y=x^2の二本の接線gとhが点(a、b)で交わるとすると、接線g、hが直交するためのa、bの条件を求めよ

g、hの接点をそれぞれを(α、α^2)、(β、β^2)とすると、gの傾きは2αでhの傾きは2βで、直交するから傾きの積が-1になって4αβ=-1になる
というのは分かりましたが、ここからがわかりません
教えてください

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

>g、hの接点をそれぞれを(α、α^2)、(β、β^2)とすると、gの傾きは2αでhの傾きは2βで、直交するから傾きの積が-1になって4αβ=-1になる　というのは分かりましたが、ここからがわかりません

どうやら、両接線交点 (a, b) の条件は、
　a = (α+β)/2
　b = αβ
らしい。

補足

どこからa、bが出てきたんですか？

回答No.7

178-tall

訂正 <　> 。

それにしても、b は <-1/4> でなきゃいかんとは？

回答No.6

178-tall

>g、hの接点をそれぞれを(α、α^2)、(β、β^2)とすると、gの傾きは2αでhの傾きは2βで、直交するから傾きの積が-1になって4αβ=-1になる …

乗ってしまった船です。
この線で先へ進んでみると？

接線 g, h の交点は、(a, b) = ((α+β)/2, αβ) 。
直交条件 4αβ=-1 から、b = -1/4 。
また β= -1/(4α) なので、a = (α+β)/2 = (α- 1/(4α))/2 = (4α^2 - 1)/(8α) 。
つまり、4α^2 - 8aα - 1= 0
　　　　　　　　　↓
α1= {4a + √(16a^2 + 4)}/4 = a + √(a^2 + 1/4)
α2 = a - √(a^2 + 1/4)
これから β= -1/(4α) を求めると、なんと、β1= α2, β2= α1 。
問題が y 軸に関して対称だから、当然かも。
それにしても、b は -1/2 でなきゃいかんとは？

ちなみに、a=0, b=-1/4 なら、β2= α1 = 0.5, β1= α2 = -0.5 。
もっともらしいけど、チェックしてみてください。

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.5

178-tall

>交点は(a、b)ではないんですか？

交点 (a, b) を α, β で表示しておかなければ先へ進めない、と思いますが。
　y = 2αx - α^2
　y = 2βx - β^2
を等置して、その結果の x が a に、y が b に相当するわけですから。

補足

そういうことだったんですね
ありがとうございました

回答No.4

178-tall

>どこからa = (α+β)/2　b = αβというのが出てきたんですか？

接線g、h の式表示は、
　y = 2αx - α^2
　y = 2βx - β^2
じゃありませんか？
両者の交点を算出してみてください。

補足

交点は(a、b)ではないんですか？

回答No.3

178-tall

>どこからa、bが出てきたんですか？
　　↑
>放物線y=x^2の二本の接線gとhが点(a、b)で交わるとする ....

補足

すみません、変な日本語でした
どこからa = (α+β)/2　b = αβというのが出てきたんですか？

回答No.1

asuncion

接線gについて、傾きが2αで、かつ、点(α, α^2)を通りますので、
gの式が求まるはずです。同様に接線hの式も求まるはずです。
両者が点(a, b)で交わることと、4αβ=－1であることを加味すれば、
解けるような気がします。

補足

gの式y=2α(x-α)+α^2
hの式y=2β(x-β)+β^2
(a、b)で2α(x-α)+α^2=2β(x-β)+β^2
2α(a-α)+α^2=2β(a-β)+β^2
2aα-α^2=2aβ-β^2
(α+β)(α-β)-2a(α-β)=0
(α-β)(α+β-2a)=0
ここからどうすればいいのですか？