どうしても分かりません。

質問

学校の数学の中間テストの勉強をしています。
考え方がよくわからないので教えてください。↓

問題
空間内に4点A（０．０．０）、B（２．１．１）、C（－２．２．－４）、D（１．２．－４）がある。

(1)∠BAC＝θとおくとき、cosθの値とΔABCの面積を求めよ。

(2)AB→（ベクトルAB）とAC→（ベクトルAC）の両方に垂直なベクトルを１つ求めよ。

(3)点Dから、3点A.B.Cを含む平面に垂直な直線を引き、その交点をEと
するとき、線分DEの長さを求めよ。

(4)四面体ABCDの体積を求めよ。

(1)(2)は解けて
(1)cosθ=ー1/2、面積3√3
(2)答えの１つ（-1.1.1）

と出たのですが、(3)の求め方が分からなくて、とりあえずEを（a.b.c）とおいてDEとAE,AC,ABは垂直だから…みたいな感じで考えたのですが上手くいきませんでした。

略解をみてみると
「DE→（DEベクトル）＝K（-1.1.1） (Kは0ではない)と表される。
AE→（AEベクトル）⊥n→（ｎベクトル）であるからAE→×n→＝0」

n→（nベクトル）は僕も(2)を解く時に使った。確かにA.B.Cを通る平面と(2)で出したn→は垂直だから…と思ったので、この略解にしたがって解いてもどうもKの値が上手く出ずにlDE→l=√3K2（ルート３Kの二乗）という答えで止まってしまいました。

ちなみに答えは√3だそうです。

(4)は(3)さえ解れば、1/3×ΔABC×DEで解けるのでなんの問題もないのですが…

(3)について解りやすく教えてください!!

回答No.1

Gab_km · ベストアンサー

ベクトルAE(以降、ベクトルをvAEのように書きます)を書き換えると、
・vAE = vAD + vDE ・・・ (*)
と書けます。
vDEは(2)を用いて
・vDE = k(-1, 1, 1)　(ただし、kは0でない)
と書けるので、式(*)は
・vAE = (1, 2, -4) + k(-1, 1, 1) = (1 - k, 2 + k, -4 + k) ・・・ (*')
と書くことができます。

ここで、vAEは平面ABC上にあるベクトルなので、
・vAE ⊥ vDE ⇔ <vAE, vDE> = 0　(記号<v, w>は、ベクトルvとwの内積を表します)
が分かるので、式(*')より
・<(1 - k, 2 + k, -4 + k), k(-1, 1, 1)> = 0
⇔(1 - k)*(-k) + (2 + k)*k + (-4 + k)*k = 0
⇔-k + k^2 + 2k + k^2 - 4k + k^2 = 0　(記号n^sは、nのs乗を表します)
⇔-3k + 3k^2 = 0
⇔3k(k - 1) = 0　∴k = 0, 1
kは0でないので、k = 1が求まります。
よって、
・vDE = 3(-1, 1, 1) = (-1, 1, 1)
が分かりました。

後はvDEの大きさを求めるだけですので、
・|vDE| = sqrt((-1)^2 + 1^2 + 1^2)　(記号sqrt(n)は、nの二乗根を表します)
. 　　　= sqrt(1 + 1 + 1)
. 　　　= sqrt(3)
となって、答えの√3が求まりました。

お礼

よく分かりました。自分でもう一回紙に書いてみます！

こんなに詳しくありがとうございました!!