平面の方程式

質問

3つの点、S(1)(3)(1)、T(1)(2)(1)、U(2)(-1)(1)を通る平面の方程式を求めよ。
という問題なのですが、下の解答で合っているでしょうか？
どこか間違えていたりしていたら、教えて頂きたいのですが…。

解）求める平面の方程式をax+by+cz+d=0とおく。…(1)
(a≠0またはb≠0またはc≠0とする。)
点Sを通るから、a+3b+c+d=0…(2)
点Tを通るから、a+2b+c+d=0…(3)
点Uを通るから、2a-b+c+d=0…(4)
(2),(3),(4)の連立方程式を解く。
同次ゆえ、係数行列に行の基本変形をしても、解の集合は変わらない。
(1 3 1 1)(1 2 1 1)(2 -1 1 1)
→(0 1 0 0)(1 2 1 1)(1 -3 0 0)
→(0 1 0 0)(0 5 1 1)(1 -3 0 0)
→(0 1 0 0)(0 0 1 1)(1 0 0 0)
方程式に直すと
b=0,c+d=0,a=0
よって
b=0,c=-d,a=0
ここで、d=k（k:自由定数）とおくと
c=-k
K=0とすると、a=0かつb=0かつc=0となり、不適当。
よって、k≠0である。

(1)に代入して
-kz+k=0
両辺をkで割って
-z+1=0
z=1
これが求める平面の方程式である。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

あっていると思います。
ベクトル→ST、→SUが平行ではありませんから、３点S,T,Uで平面は一意に決まります。ここで、３点のz座標がすべて１より、求める平面がｚ＝１であることは自明です。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

noname#56760

ベクトルＳＴ＝(0,-1,0)
ベクトルＳU＝(1,-4,0)
ST⊥h且つSU⊥hとなるベクトルhを
ベクトルh＝(0,0,1)と定める
求める平面上のあらゆる点をＰ(x,y,z)とおくと
ＳＰ⊥ｈより
(x-1,y-3,z-1)・(0,0,1)=z-1=0
よってｚ＝１
というやり方もいけそうです。
ｈは外積でも充分です。

お礼

そんなやり方もあったのですね、参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

この問題に限ってみれば、計算をするまでもなく、答えは直感的に明らかです。でも、空間内の一般的な位置にある３点を通る平面の方程式を求めるには、方法論として質問者さんの方法でよいと思います。

ここで、質問者さんの解答を拝見させてもらった感想を述べさせていただくと、ちょっと冗長のような気がします。最初に、ｄ≠０であることを吟味してから、ｄ＝１とした方が良いようにも感じました。
また、行列の行の基本変形も、最終的に、
→(1 0 0 0)(0 1 0 0)(0 0 1 1)
という形に変形できますね。この形の方が見やすいですね。
でも、これは、答案の「見栄え」に関することですので、たいしたことではありません。

ともかく、質問者さんの解答は私の見る限り、一切の誤りを含んでいないようです。よかったですね。

補足

合っているようで、良かったです。
ojisan7さんが言う、d≠0であることを吟味してから、d=1とした方が良いというのは、どういうことなんでしょうか？
物分りが悪くてすみません。よければ、ご説明して頂けないでしょうか
？

行の基本変形では、見栄えが良いほうが確かに良いですよね。
ありがとうございます。