ｆを集合Xから集合Ｙへの全射とするとき、｜X｜≧｜Ｙ｜を証明せよ。

質問

ｆを集合Xから集合Ｙへの全射とするとき、｜X｜≧｜Ｙ｜を証明せよ。

お手数ですが、どなたかご解答お願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

選択公理より自明・・・じゃ駄目なんだろうなあ

#1さん御指摘のように
濃度の大小の定義，
選択公理を知らなければ無理です．

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Yの任意の元yに対して，fは全射なので f^{-1}(y)は空ではない
そこで，
{ f^{-1}(y) | yはYの元 }
なる集合族を考える（これはXの互いに交わらない分割をなす）．
「選択公理」より
各 f^{-1}(y) から一つの元 g(y) を選ぶことができる．
これによって写像 g:Y -> X を定める．
このとき，g(y)=g(y') とすると
y=f(g(y)) (g(y)はf^{-1}(y)の要素)
=f(g(y'))
=y'
したがって，gは単射．
よって，題意は示された．

お礼

ご解答有難うございます。
問題文には上記しか記載されていません。
是非、参考にさせていただきます。

回答No.1

boiseweb

(1) ご質問の問題をいったん離れて，「2つの集合 A,B について，|A|≧|B| の定義は何か？」，言い換えれば「2つの集合 A,B について，|A|≧|B| を証明しようとするとき，何を示せば『証明した』ことになるのか？」について，質問者さんが理解していることを補足にどうぞ．
もし，そのことが理解できていないのなら，まず，自分の力でそれを理解すべく努力してください．

(2) ご質問の問題に関連して，「選択公理」云々という注意書きはありませんでしたか？
本来，この問題を出題するにあたっては，選択公理についてどのような立場をとるのかを，何らかの形で宣言しておく必要があります．この問題に完全な形で答えるためには選択公理を使う必要があるからです．もし，選択公理について何の言及もないままこの問題を出題したとしたら，厳しい見方をすれば出題ミスと言えなくもありません（おおらかな見方をするなら「選択公理は常に仮定する」と補って解釈することになるでしょうが）．

お礼

ご解答有難うございます。
問題文には上記しか記載されていません。
勉強してみます。