X, Y は距離空間とし、f : X → Y とする。Y の任意の開集

質問

X, Y は距離空間とし、f : X → Y とする。Y の任意の開集合Gに対して、f^-1(G)はXの開集合であるとする。x0∈Xとし、fはx0で連続であることを示したい。ε>0とする。
1)x0∈f^-1(Sε（f(x0))を示せ。
２）Sδ(x0)⊂f^-1(Sε(f(x0)))を満たすδ>0が存在することを示せ。
３）
2)で得たδに対して、f(Sδ(x0))⊂Sε(f(x0))が存在することを示せ。
三問です、お願いします＞＜

（SδはＳ×δという意味ではなく、Ｓ'=～といったような式の区別です。
f^-1もfの－１乗では無く、式です。）

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

以下のように省略する。
f^{-1}=F.
x_0=a.

dXはXの距離、dYはYの距離。
BX(z,r)={x∈X|dX(z,x)<r}.
BY(z,r)={y∈Y|dY(z,y)<r}.

(1) 「a∈F(BY(f(a),ε))を示せ」であると解釈する。
{f(a)}⊂BY(f(a),ε)⇒a∈F(f(a))⊂F(BY(f(a),ε)).

(2)
BY(f(a),ε)はY-開集合。
仮定よりF(BY(f(a),ε))はX-開集合。
(1)よりaはF(BY(f(a),ε))の内点。
したがって、距離空間の開集合の内点の性質（証明要）より
BX(a,δ)⊂F(BY(f(a),ε))
をみたすδが存在する。

(3)
一般に、f(F(A))⊂Aだから、
f(BX(a,δ))⊂f(F(BY(f(a),ε))).

お礼

ありがとうございます！！