n

質問

n
Σ k(k+1)=（1/3）×n(n+1)(n+2)
k=1

となるのがわかりません。
教えてください。

回答No.3

momordica · ベストアンサー

一般項が分数の形の数列の和などを求める時よく使われる方法ですが、

k(k+1)=k(k+1)*{(k+2)-(k-1)}/3
　　　　=(1/3)*{-(k-1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)}

なので、

Σ[k=1→n]{k(k+1)}
　　　=(1/3)*Σ[k=1→n]{-(k-1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)}
　　　=(1/3)*{(-0*1*2+1*2*3)+(-1*2*3+2*3*4)+(-2*3*4+3*4*5)+…+{-(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)}}
　　　=(1/3)*n(n+1)(n+2)

となります。
同様に、任意の自然数pに対して

Σ[k=1→n]{k(k+1)…(k+p)}
　=(1/(p+2))*n(n+1)(n+2)…(n+p+1)

となることなどもわかるかと思います。

お礼

ありがとうございました！

回答No.4

alice_44

No.1 のように考えるよりも、むしろ、
No.3 の公式から逆に Σk^p を導くのが普通。
だって、Σk^2 なら、教科書に載っているが、
Σk^5 とかが必要なときは、どうする？

例えば、Σ[k=1…n] k^2
= Σ[k=1…n] k(k+1) - k
= Σ[k=1…n] k(k+1) - Σ[k=1…n] k
= (1/3)n(n+1)(n+2) - (1/2)n(n+1)
= (1/6)n(n+1){ 2(n+2) - 3 }
= (1/6)n(n+1)(2n-1).

もっと高次でも、同様にできる。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

f272

#1さんのようにやるのが分かりやすくてよい。
ほかには
k(k+1)=(1/3)((k+1)^3-k^3-1)
ということから
Σk(k+1)=(1/3)((n+1)^3-1^3-n)
を導くこともできる。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

RTO

単なる数列の和なので
Σの右側を（K＾2）+（K）と分けて考える
教科書に出てる公式二つをそのまま式の右辺に置き、足し算すればあなたの提示された式と同じになるはずです。

検算していませんので元の問題から誤っていたりあなたが転記ミスしてた場合までは知りません。

お礼

ありがとうございました！