数学3の二次曲線の問題がわかりません。

質問

数学3の二次曲線の問題がわかりません。

座標平面上に2点A(-1,0),B(1,0)をとる。以下の問いに答えよ。

(1)kを実数とし、直線y=-x+kに関して点Bと対称な点をCとする。点Cの座標を求めよ。

解けました。
(k,k-1)となりました。

(2)点Pが直線y=-x+k上を動くとき、点PからAまでの距離とBまでの距離の和PA+PBが最小になるときの点Pの位置をP(k)とする。kが-1<=k<=1の範囲にあるときとそれ以外のときに場合を分けて、P(k)の座標を求めよ。

解けました。

-1<=k<=1のとき(k,0)

k<-1,1<kのとき、((k^2+1)/2k,(k^2-1)/2k)

となりました。

(3)kがすべての実数を動くとき、(2)で定めたP(k)の軌跡の概形を描け。

わかりません。
問題がなにを求めているのかもよくわかりません。

お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1),(2)は合っているので問題なし。

(3)
P(k)の軌跡と点A,B,CとP点の位置P1(-1<=k<=1の時),P2(k>1の時),P3(k<-1の時)の図を描きましたので良く見て下さい。
kを変えたときの点Pの位置と直線y=-x+kの関係が理解できるかと思います。

(2)の結果から

-1<=k<=1のとき P(k)=(k,0)
この時のP(k)=(x,y)の軌跡は
線分ABとy=-x+kとの交点がP(k)なので、
　x=k,y=0 → P(k)の軌跡は　y=0(-1<=x<=1)　…(☆1)

k<-1,1<kのとき、P(k)=((k^2+1)/2k,(k^2-1)/2k)
　線分ACとy=-x+kとの交点がP(k)なので

　●1<k=x+yの時　k=x+yを直線AC:y=(x+1)(k-1)/(k+1)の式に代入して整理やれば
　　y=√(x^2-1) …（☆2）
　が得られます。これが k>1の時のP(k)の軌跡です。
　●k=x+y<-1の時　k=x+yを直線AC:y=(x+1)(k-1)/(k+1)の式に代入して整理やれば
　　y=-√(x^2-1) … (☆3)
　が得られます。これが k<-1の時のP(k)の軌跡です。

kが全ての実数を取るときのP(k)の軌跡は(☆1),(☆2),(☆3)をまとめれば良いですね。
図の水色の実線で示してあります。

お礼

なるほど！このようなグラフになるんですね、覚えておきます。

ありがとうございます！

回答No.1

alice_44

(1)(2) 合っています。あとは、
k＜-1 または k＞1 の範囲の P(k) が
(x+y)(x-y)=1 という双曲線(の一部)
であることに気がつけば、絵を書いて完了です。
直線 AC が x-y=1/k であることから
気づくことができるはず。
(x+y)(x-y)=1 のグラフの書きかたは、
"二次曲線 標準形" で google すれば
見つかると思います。