角度の最大値

質問

xを正の実数とする。座標平面上の３点 a(0, 1), B(0, 2), P(x, x)をとり、
△APBを考える。 xの値が変化するとき、∠APBの最大値を求めよ。

全く解き方が分かりません。
解説解答お願いします(>_<)

回答No.4

staratras · ベストアンサー

座標(グラフ)の問題でも、図形(幾何）的な考え方を活用したほうが、計算だけで解くより解答の見通しがよくなります。

この問題では、与えられた2点AとBを通る円が、直線y=xと接するとき、(第1象限側の）その接点をPとすると角APBが求める最大値になります。

2点A(0,1）、B(0,2)を通る円を考えます。その半径が最小の円はA,Bを直径の両端とする半径0.5の円(中心がｙ軸上）ですがこれは点Pがその上にあるy=xと交点を持ちません。2点A(0,1）、B(0,2)を通る円の中心はこの線分ABの垂直2等分線であるy=1.5上にありますが、円の半径を大きくするにつれて、円の中心はｘが正の方向へy軸から遠ざかり、円の中心からAとBを見込む角が小さくなってゆくとともに、円が直線y=xに接近してゆきます。

そして、円の中心がある位置(添付した図のC）に達したときに円が直線y=xに点Pで接します。円の中心をさらにy軸から遠ざけますと（図のD）、円は直線y=xと2つの交点を持ちます（図のQとR）。∠APB=θ、∠AQB=∠ARB=θ’としますと円周角と中心角の関係から、∠ACB=2θ、∠ADB=2θ’であり、明らかに∠ACD>∠ADBなので、θ>θ’です。つまり2点AとBを通る円が、直線y=xと接するとき、(第1象限側の）その接点をPとすると∠APBが求める最大値です。

C(c,1.5) P(x,x)とおくと、
題意を満たす円の式は　(x-c)^2+(y-1.5)^2=0.5^2+c^2
接点Pはy=xを満たすので、これを代入して整理すると
2x^2-(2c+3)x+2=0　…（1）
この方程式は重解を持つので　判別式＝0
（2c+3)^2-4*2*2=0
4c^2+12c-7=0
(2c-1)(2c+7)=0
c=0.5 またはc=-3.5
このうち第1象限で接するのはc=0.5のとき
（1)へ代入して整理すると
x^2-2x+1=0　(x-1)^2=1　したがってx=1、y=1

このとき3角形APBはAB=AP=1　∠BAP=90度の直角2等辺3角形になるので
∠APB=45度　これが最大値となります。

なお、c=-3.5の場合は問題にあるｘは正の実数という条件を満たしませんが、　円の中心が第2象限にある大きな円が直線y=xに接する場合です。｜-3.5｜>0.5なので明らかにc=0.5の場合と比較して∠APBが小さくなり、仮にｘ<0の場合が許されるとしても最大値を与えません。

お礼

図までつけてくださってありがとうございました☆

回答No.3

rnakamra

△ABPの外接円の中心をC(X,Y)とします。

円周角の定理から
∠APB~(1/2)*∠ACB
となります。つまりは∠ACBの最大値を求めればよいことになります。

△ABCはCA=CBの二等辺三角形であり、ABの長さが固定ですので∠ACBを最大にするにはCA=CBを最小にすればよいことがわかります。そのためのX,Yの条件を考えます。

まず、CはABの垂直二等分線上の点ですのでY=3/2であることがわかります。

CA=CPの条件から
X^2+(3/2-1)^2=(X-x)^2+(3/2-x)^2
となります。これを整理すると
2xX-2x^2+3x-2=0
X=x-3/2+1/x

Xの絶対値の最小値を求めればよいのですが、これはx>0と仮定して相加平均≧相乗平均の関係を使うと簡単に得られるでしょう。もちろんx<0の場合も考えないといけませんが、確認すればわかりますが、これはx>0の場合よりも必ず絶対値が大きくなります。

角度を求めるには余弦定理を使うなり、得られた△ABCの形を考えるなりすればよいでしょう。

お礼

回答ありがとうございました☆

回答No.2

mister_moonlight

P(α、α)α＞0とする。
Ａ(0, 1), Ｂ(0, 2), だから、直線ＰＡの傾きは　(α-1)/α＝m、直線ＰＢの傾きは　(α-2)/α＝n。
∠ＡＰＢ＝θ　0＜θ＜π/2　とすると、tanθの加法定理から、tanθ＝｜(m-n)/(1+mn)｜＝｜(α)/(2α＾2-3α＋2)｜＝(α)/(2α＾2-3α＋2)となる。何故なら、α＞0、2α＾2-3α＋2＞0。
又、tanθは　0＜θ＜π/2　で単調増加関数から、(α)/(2α＾2-3α＋2)の最大値を考えると良い。
(α)/(2α＾2-3α＋2)＝k ‥‥(1)　とすると、分母を払うとαの2次方程式になるが、αが実数から判別式≧0
実際に計算すると、k≦1　だから最大値は1で　そのとき(1)から　α＝1.　tanθ＝1で　0＜θ＜π/2　だから、θ＝π/4.

お礼

回答ありがとうございました☆

回答No.1

info22_

∠APB=θとおくと
　0＜θ＜π　…(1)
余弦定理より
　cosθ={x^2+(x-1)^2+x^2+(x-2)^2-1^2}/[2√{x^2+(x-1)^2}√{x^2+(x-2)^2}]
　　　 =(2x^2-3x+2)/√{2(2x^2-2x+1)(x^2-2x+2)}　…(2)

(1)を満たすθに対しcosθは単調減少関数なので、
cosθが最小値をとるときθは最大になります。

(2)の分子=2{x^2-(3/2)x}+2=2{x-(3/4)}^2+7/8＞0なので　cosθ＞0
(1)より　0＜θ＜π/2　…(3)

(3)の範囲のθに対して(2)の両辺は正なので2乗しても同値となる。
したがって、
　f(x)={(2x^2-3x+2)^2}/{2(2x^2-2x+1)(x^2-2x+2)}
の増減表を作りf(x)の最小値を求めてやれば良い。
　これは自力でやってみて下さい。

x=1でf(x)は最小値をとることが出てきますので
cosθの最小値=√f(1)=1/√2
θの最大値=π/4
となります。

お礼

詳しい解説ありがとうございました☆