初期値問題についての質問です

質問

初期値問題についての質問です

d^2y/dx^2 + 2dy/dx + 2y = x + e^(-x)
y(0) = 0,dy/dx(0) = 0

という問題についてです。

y = y0 + c1y1 + c2y2 とし特性方程式で
λ^2 + 2λ + 2 = 0 と考え
y1 = (e^x) cosx, y2 = (e^x) sinx　
とy1,y2は答えを得ることができました。

しかしy0を
y0 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D + e^(-x)　として考えたのですが
うまく解がでず、他にもいくつか試してみましたがおかしな答えばかり出ました。

この場合y0を何とおき考えたらよいのでしょうか？
回答お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

普通の解き方

1)d^2y/dx^2 + 2dy/dx + 2y =0　の一般解y1を求める
特性方程式（λの代わりにsを使うと）
s^2+2s+2=0
s=-1±i
y1=(c1*cos(x)+c2*sin(x))e^(-x)

2)特殊解y2を求める
y2=ae^(-x)+bx+c
とおいて元の方程式に代入
2b+2c+2bx+(a-2a+2a)e^(-x)=x+e^(-x)
2b+2c=0,2b=1 → b=1/2,c=-1/2
a=1
∴y2=e^(-x)+(x-1)/2

1),2)から
y=y1+y2=(c1*cos(x)+c2*sin(x))e^(-x)+e^(-x)+(x-1)/2 …(3)
y'=((c2-c1)*cos(x)-(c1+c2)sin(x))e^(-x)-e^(-x)+(1/2)…(4)

>y(0) = 0,dy/dx(0)=y'(0) = 0
より
c1+1-(1/2)=0 → c1=-1/2
c2-c1-1+(1/2)=0 → c2=0

c1,c2を(3)に代入すれば問題の解が得られます。

後はやって下さい。

お礼

＞2)特殊解y2を求める
＞y2=ae^(-x)+bx+c

朝早くから回答ありがとうございます。
２階微分があり右辺にｘがあるからｘの３乗が必要と考えたのですが
ｙがあるからｘだけでいいんですね。

迅速な回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「うまく解がでない」とは, 具体的にはどのように計算したらどのようなものが出てきてしまったということですか?
また, 「他に試した」のはどのようなものですか?

お礼

さっかく見てくださったのに申し訳ありませんが問題が解決しました。
書きこみありがとうございました。

補足

>「うまく解がでない」とは, 具体的にはどのように計算したらどのようなものが出てきてしまったということですか?

y0 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D + Ee^(-x)　とする。

y0' = Ax^2 + Bx + C - Ee^(-x)

y0' = Ax + B + Ee^(-x)

これをd^2y/dx^2 + 2dy/dx + 2y = x + e^(-x)に代入して整理すると

2Ax^3 + (2B + 6A)x^2 + (12A + 4B + 2C - 1)x + (4B + 2C + 2D)
+ (2E - 1)e^(-x) = 0

ここからがうまく答えが分からず
A = 0
B = 0
C = 1/2
D = -1/2
E = 1/2
としてみたのですが
これを代入して
y = y0 + c1y1 + c2y2
　= 1/2x + 1/2 + 1/2e^(-x) +c1 e^x sinx + c2 e^x cosx

y' = 1/2 - 1/2 e^(-x) + e^x{ c1 sinx + c1 cosx - c2 sinx + c2 cosx}
= 1/2 - 1/2 e^(-x) + e^x{sinx(c1 - c2) + cosx(c1 + c2)}

初期値条件より
y(0) = 1/2 + 1/2 + c2 = 0
c2 = -1
y'(0) = 1/2 -1/2 + e^x{cosx(c1 - 1)} = 0
c1 = 1

y = 1/2x + 1/2 + 1/2e^(-x) +e^x sinx - e^x cosx
y' = 1/2 - 1/2e^(-x) + e^x{sinx + cosx - cosx +sinx}
= 1/2 - 1/2e^(-x) + e^x{2sinx}
y'' = 1/2e^(-x) + e^x{2sinx + 2cosx}

これらを

d^2y/dx^2 + 2dy/dx + 2y = x + e^(-x)に代入すると

1/2e^(-x) + 2 + x + e^x{8sinx + 3cosx} = x + e^(-x)
となってしまいました。

＞また, 「他に試した」のはどのようなものですか?

ダメもとで
y0 = Ax^3 + Ee^(-x)
などとy0を少しづづ変化させて解いてみました。