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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：すっきりしないので、再度質問。）
周期関数の最大値とそれを与えるxの値の求め方
このQ&Aのポイント
- 周期関数 f(x) = a*sin(x/3) - sin(x/5) の最大値と、それを与えるxの値を求める問題について説明します。
- 最大値が存在するためには、a > 0 かつ |sin(x/3)| <= 1 かつ |sin(x/5)| <= 1 が成り立つ必要があります。
- 最大値を与える x の値は、sin(x/3) = 1 かつ sin(x/5) = -1 の同時に成り立つ x が存在することから、x = (15/2 + 30m)π となります。
- mister_moonlight
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- 数学・算数
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質問者が選んだベストアンサー
周期関数なので周期T(>0)を求める。 Tは任意の実数xに対して次式を満たす最小の正数（基本周期という）。 f(x+T)=f(x) a*sin((x+T)/3)-sin((x+T)/5)=a*sin(x/3)-sin(x/5) ここで sin((x+T)/3)=sin(x/3)cos(T/3)+cos(x/3)sin(T/3) sin((x+T)/5)=sin(x/5)cos(T/5)+cos(x/5)sin(T/5) なので これを代入して式を整理すると a*sin(x/3){cos(T/3)-1}+a*cos(x/3)sin(T/3) -sin(x/5){cos(T/5)-1}-cos(x/5)sin(T/5)=0 これが任意のxについて成立するので x=0とおいて a*sin(T/3)-sin(T/5)=0…(A) x=15π/2とおいて a{cos(T/3)-1}+cos(T/5)-1=0…(B) （A),(B)を解くと sin(T/3)=sin(T/5)=0,cos(T/3)=cos(T/5)=1 となって,T=15*2mπ=30mπが得られます。Tは正の最小値に選ぶ（基本周期）ので m=1となって T=30πとなる。 実際に f(x+30π)=f(x)が成り立ちますので T=30π f(t)は基本周期がT=30πの周期関数と分かったので 0≦x≦30πの範囲でf(x)の最大値を調べれば良いことになる。 このxの範囲で sin(x/3)=1,sin(x/5)=-1を満たすxがただ1つ存在し x=15π/2と求まる。 この時最大値f(15π/2)=a+1 が得られる。 というわけです。
お礼
なるほど、見事です。そういう事か。 疑問が氷解しました。有難うございました。