多重スリットの干渉による光の強度 近似

質問

とある条件のときの光の強度が、
I(θ) = I(0)/N^2 × 1/|sin{(ν+1/2)π/N}|^2 ≒ I(0)/N^2
（ただし、I(0)は定数、Nは整数、νはNの倍数でない整数）
と書いてあるのですが、どのような近似をしているのでしょうか。三角関数の近似と言えば、sin x≒x　(ただし、x<<1)ぐらいしかないと思うのですが。

回答No.3

bran111 · ベストアンサー

#2です。

I(0)/N^2 × 1/|sin{(ν+1/2)π/N}|^2 ≒ I(0)/N^2

　⇒　sin{(ν+1/2)π/N}≒±1　　　　　（1）

　⇒　(ν+1/2)π/N≒π/2+2ｍπ　または　(ν+1/2)π/N≒3π/2+2ｍπ　（ｍ＝0, ±1, ±2,... )

　⇒　ν=(N-1)/2+2mN　または　ν=(3N-1)/2+2mN　

（1）以下は厳密に成立します。

　sin{(ν+1/2)π/N}=±1　　　　　（1）

　⇒　(ν+1/2)π/N=π/2+2ｍπ　or　(ν+1/2)π/N=3π/2+2ｍπ　（ｍ＝0, ±1, ±2,... )

　⇒　ν=(N-1)/2+2mN　or　ν=(3N-1)/2+2mN　

したがって≒はνが整数となるように適宜選ぶことができる程度の意味合いでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。なんとなくすっきりしました。

回答No.2

bran111

I(0)/N^2 × 1/|sin{(ν+1/2)π/N}|^2 ≒ I(0)/N^2

　⇒　sin{(ν+1/2)π/N}≒±1

　⇒　(ν+1/2)π/N≒π/2+2ｍπ　または　(ν+1/2)π/N≒3π/2+2ｍπ　（ｍ＝0, ±1, ±2,... )

　⇒　ν=(N-1)/2+2mN　または　ν=(3N-1)/2+2mN　

νが整数になるためにはNが奇数。これが”νはNの倍数でない整数”に相当するか否かを質問者自身で検討してください。文面だけではわかりません。

お礼

回答ありがとうございます。実際には、dsinθ→(ν+1/2)λ/Nのとき、
I(0)|sin(πNd(sinθ)/λ)/Nsin(πd(sinθ)/λ)|^2→I(0)/N^2×1/|sin{(ν+1/2)π/N}|^2≒I(0)/N^2
と書かれています。

訂正
Nはスリットの隙間の数なので、厳密には整数ではなく自然数でした。また、スリットの数なのでNに奇数・偶数は関係ないと思います。
νは、0とNの倍数を除く整数でした。具体的に、ν=±1,±2,…±(N-1),±(N+1),…となります。

回答No.1

f272

I(0)/N^2 × 1/|sin{(ν+1/2)π/N}|^2 ≒ I(0)/N^2
ということは
|sin{(ν+1/2)π/N}|^2 ≒ 1
となっていると言うことだけど...
一般的には成立しませんが「とある条件」ではこれが成り立っているのでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。実際には、dsinθ→(ν+1/2)λ/Nのとき、
I(0)|sin(πNd(sinθ)/λ)/Nsin(πd(sinθ)/λ)|^2→I(0)/N^2×1/|sin{(ν+1/2)π/N}|^2≒I(0)/N^2
と書かれています。極限部分は問題ないのですが、近似≒の部分に納得がいかないのです。