整数解

質問

大のさいころの目をｍ、小のさいころの目をｎとして
二次関数　f(x)=x~2+2mx+n　を考える

方程式f(x)=0が整数解を持つ確率を求めよ！

という問題で解説を見ると
f(x)の判別式をＤとするとＤ=m~2-n
f(x)=0が整数解を持つためには、m~2-nが平方数でなくてはならない・・・

と書いてあったのですが、m~2-nが平方数でなくてはならない
というのは解の公式をしたときにm~2-nが√の中にあるからなのでしょうか？

自信がないのでこのしょうもない質問の回答お願いします。

回答No.1

aohosi · ベストアンサー

>解の公式をしたときにm~2-nが√の中にあるからなのでしょうか？
ほぼ合っています。

m~2-nが平方数じゃないと(例えばm=2,n=1)どうなるか考えてみれば分かると思います。

回答No.3

arrysthmia

解公式の話にするよりも、
平方完成した形 (x+m)^2=m^2-n を考えたほうが
わかり易いかもしれません。
x が整数であれば、左辺は平方数ですから、
右辺も平方数であることが必要となります。

一方、m^2-n が平方数だということは、
m^2-n=k^2 となる自然数 k があるということですから、
(x+m)^2=k^2 から、x=-m±k が整数解となることも
確認できます。

回答No.2

take_5

簡単な事だよ。

f(x)＝x~2+2mx+n＝0を解くと、x＝-m±√Ｄ。
xが整数であるためには、Ｄ＝m~2-n＝（k）＾2　（k＝0、1、2、‥‥とする）であれば良い。そうすれば、x＝-m±kとなり、xは整数値になる。