ロンスキアンと一次独立性について

質問

ロンスキアンと一次独立性について

f(x)=x^3, g(x)=|x^3|
という関数があり、これの一次独立性をロンスキアンを用いて調べてみようと思います。
f'=3x^2(x:任意実数), g'=3x^2(x>=0), -3x^3(x<0)
よりロンスキアンW(f,g)=fg'-f'g=0 (-∞,-∞)となります。
これはf,gが一次従属であることを示します。
しかし一方でA,Bを定数として任意の実数xに対して、Af+Bg=0
となるようなA,BはA=B=0しかありません。つまりこれは一次独立であることを表しています。

どこが間違っているのでしょうか？「ロンスキアン≠0⇔一次独立」は微分方程式を絡めたときでないと成り立たないなどと書いてあるものもありますがよく分かりません。
何か大きな勘違いをしているような気もします。
是非ご存じの方いましたら回答よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

ｎ×ｎ型のロンスキアンが ≠0 であることは、
ｎ連立１階斉次線型微分方程式のｎ個の階が一次独立であるための条件
であって、それ以外のことは判定できない。

この質問の f, g は、２連立１階斉次線型微分方程式の解にならない
(そのような微分方程式が存在しない) ので、
ロンスキアンを用いて独立性を判定することはできない。

お礼

なるほど・・・そうでしたか！
ありがとうございます！！