微分方程式の解き方

質問

自分の趣味で、{f(x)}^2-f'(x)=0 という微分方程式が解けるかどうかやってみました。
解答
(1) f(x)=0は、与えられた微分方程式を満たす。
(2) f(x)=a (aは0以外の任意の実数の定数)は与えられた微分方程式を満たさないのでf(x)≠0、f'(x)≠0とする。
{1/f(x)}^2=1/f'(x)…(A)
{1/f(x)}'=-f'(x)/{f(x)}^2 より
{-1/f(x)}'=1とすると、{-1/f(x)}'=f'(x)/{f(x)}^2
f'(x)/{f(x)}^2=1
1/{f(x)}^2=1/f'(x) よって(A)と同じ式になる。
なので{-1/f(x)}'=1の両辺を積分して
-1/f(x)=x+C (Cは任意定数)
f(x)=-1/(x+C) となる。
(1),(2)より、一般解はf(x)=-1/(x+C)、特殊解はf(x)=0である。
これでOKでしょうか?
この解き方が正しいか教えていただきたいですm(__)m

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

正しいと思います。

教科書的にいえば、変数分離型です。
　　y^2 = dy/dx
と書けるので、
　　dy/y^2 = dx
と変形でき、両辺を積分すれば、
　　-1/y = x+C
が得られる、というわけです。

お礼

遅くなってしまって申し訳ありません。回答していただきありがとうございます。

回答No.2

Knotopolog

一般解はf(x)=-1/(x+C)で良いですが，f(x)=0は特殊解ではありません．
特殊解というのは，一般解の積分定数 C に特別な数値を与えた解です．
f(x)=0が特殊解だとするとf(x)=-1/(x+C)から 0=-1/(x+C) となり，
0・(x+C)=-1，ゆえに 0=-1 となり，矛盾です．与えられた常微分方程式の
特殊解とは f(x)=-1/x や f(x)=-1/(x+1) などのことをいいます．
あなたが (1)に f(x)=0 と書かれており，(2)に f(x)≠0 と書かれていること自体が矛盾です．また，(1)で勝手に f(x)=0 と置いたことも誤りです．
なぜならば，与えられた常微分方程式に f(x)=0 という解は存在しません．
なぜならば，一般解 f(x)=-1/(x+C) は x と C に如何なる数を与えても 0 にはならないからです．

お礼

遅くなってしまって申し訳ありません。回答していただきありがとうございます。