写像の1次独立

質問

n次元実ベクトル空間RnからRへの3つの線形写像f,g,hが写像として1次独立である、というのは

∀x∈Rn af(x)+bg(x)+ch(x)=0 ⇔ a=b=c=0

が成立するということでしょうか？
Rnの表記が変なことになってしまって見づらいですが、教えてください、お願いいたします。

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式が2通りに解釈できる気がするので蛇足ながら…

「全てのｘについて、『af(x)+bg(x)+ch(x)=0 ⇔ a=b=c=0』」ではなくて、「af(x)+bg(x)+ch(x)=0が、全てのｘについて成り立つ、ためには、a=b=c=0でなければならない」というのが写像としての１次独立の定義かな？

ということを悩んでいます。

回答No.1

betagamma · ベストアンサー

線形代数の問題でしょうか。
普通、一次独立というのは、例えば、n次元ベクトルが{a0,a1,a2}と3つあったときに、このn次元ベクトルの集合が一次独立かどうか、という風に問われる問題ですね。つまり、
c0*a0+c1*a1+c2*a2=0
となる、(c0,c1,c2)で、(0,0,0)以外のものが存在しなければ、「一次独立」です。

さて、x∈Rnがn次元ベクトルで、f(x)が線形写像であれば、あるn×n行列Fがあって、
f(x)=Fx
の形にかけます。

n×n行列Fを、n次元横ベクトルがn行並んだもの、と考えれば、「一次独立かそうでないか」という考え方を導入することができますね。それを問われているんだと思います。

ところで、行列Fを、n次元横ベクトルがn行並んだもの（または、n次元縦ベクトルがn列並んだもの）、と考えたとき、「一時独立でない」⇔det F=|F|=0です。det Fは、Fの行列式です。
すなわち、
行列F（の横ベクトルや縦ベクトルの集合）が一次独立　であるということは、|F|≠0と同値です。つまり、行列Fが正則だということです。

したがって、線形写像fが一次独立であるとは、
f(x)=Fx
となる行列Fを考えたとき（必ずこの形にかけることが証明できます）、|F|≠0であること、すなわち、行列Fが正則である、といっているのだと思います。

お礼

なるほど、写像は線形写像だから全部合わせて行列表記できるんですね。で、その行列のランクが最大（つまり正則）ということが「写像として一次独立」ということだったのですか。

明快なご回答ありがとうございました！

回答No.2

eatern27

(線型)写像の和とスカラー倍が、普通の定義なら、
f,g,hが一次独立であるとは、実数a,b,cに対して
af+bg+ch＝Ｏ⇒a=b=c=0
となる事ですね。(Ｏは全てのx∈R^nに0を対応させる写像です)

まぁ、要するに
＞「af(x)+bg(x)+ch(x)=0が、全てのｘについて成り立つ、ためには、a=b=c=0でなければならない」
という事です。

お礼

なるほど、確かに写像の和・スカラー倍が通常のもの、という仮定が必要でしたね。
自分が質問に使った言葉でご回答いただき、わかりやすかったです、ありがとうございます！！