逆像法逆手流、独立変数従属変数

質問

逆像法について調べています。高3です。
　【y=x-2（-1≦x≦2）のとき、逆像法でyの値域を求めよ】という問題があったとします。
逆像法においてxが従属変数であり、独立変数であるyを独立変数kとすると（(i)独立している定数とでもいうべきでしょうか、ここも教えてください）k=x-2（k:独立,x:従属）となります。
独立変数kが元となって従属変数xが決まるということになると思いますが、求値対象であるk(y)を求めるにはxの条件-1≦x≦2を使ってxを元としてkを出していくような気がします。(ii)この時、x:独立,k:従属になっていると思うのですが逆像で亡くなってしまっているのでしょうか？どこが間違っているのでしょうか？
　他にも、【実数x,yがx^2+y^2=1を満たす時、x+yの取りうる値の範囲を求めよ】という問いでは、逆像法において、x+y:独立、x,y:従属だと思います。ここにおいて、x+y=kとして、従属変数をおくと、y=k-x→x^2+(k-x)^2=1→2x^2-2kx+k^2-1=0(ここまではk:独立,x:従属）,xは実数、となりますが、この後、x実数という条件を入れてkを求める時にここでもx:独立,k:従属と逆転しているように思えます。(iii)これでは逆像法でないような気がします。それはなぜなのでしょうか？どこが勘違いしている場所なのでしょうか？
　(iv)また少し関係ないのですが順像法ではxが独立変数、逆像法ではyが独立変数と決まっているのでしょうか？決まっているのかわかりませんが決まっていないのだとしたらそれは高校数学だけなんでしょうか？
　(v)何をもって独立変数、従属変数なのか、順像法と逆像法の定義は何かも曖昧なところがあり、教えていただきたいです。

以上(i)~(v)の5点、お教えいただけると助かります。どうぞお手数をおかけしますがよろしくお願いいたします。

回答No.3

jcpmutura

途中でxが独立変数、yが従属変数に戻ってしまうと逆像法ではないのなら
逆像法で解ける問題など存在しません。
なぜなら求める変数は必ず従属変数だから
従属変数に戻さなければ求められないからです。

逆像法とは、
求める従属変数を
一時的に独立変数として扱って
最後に従属変数に戻して
求める方法です。

回答No.2

bran111

(i)【y=x-2（-1≦x≦2）のとき、逆像法でyの値域を求めよ】
⇒この問題がナンセンスです。これは順像法です。従って「どこが間違っているのでしょうか？」まで全くの間違いです。

(ii)【実数x,yがx^2+y^2=1を満たす時、x+yの取りうる値の範囲を求めよ】という問いでは、逆像法において、x+y:独立、x,y:従属だと思います。
⇒（xが独立、yが従属）、または（yが独立、xが従属）であって、z=x+yという新たな従属変数の値域を求める順像法です。

(iv)また少し関係ないのですが順像法ではxが独立変数、逆像法ではyが独立変数と決まっているのでしょうか？決まっているのかわかりませんが決まっていないのだとしたらそれは高校数学だけなんでしょうか？

⇒変域が指定された独立変数xの関数y=f(x)（これを従属変数という)の値域を求めるという話であって、
変域が指定された独立変数yの関数x=g(y)(従属変数)の値域を求めるというのも当然ありです。

　(v)何をもって独立変数、従属変数なのか、順像法と逆像法の定義は何かも曖昧なところがあり、教えていただきたいです。
⇒(i),(ii)から独立変数、従属変数の意味をつかんでください。要するに変域が指定された独立変数xの関数y=f(x)（従属変数)の値域を求めるという話であって、順像法、逆像法なんて言葉に振り回されるのは無意味です。

回答No.1

jcpmutura

関数y=f(x)において,xを独立変数yを従属変数といいます。
逆像法では
最初はyを独立変数,xを従属変数と一時的に逆にしますが、
最後はxを独立変数,yを従属変数に戻します。
最後まで逆転させると問題が解けないので
最後まで逆転させてしまうわけではありません。

「-1≦x≦2のとき,y=x-2の値域を求めよ」という問題で

y=x-2
両辺に2を加えて左右を入れ替えると
x=y+2
とyが独立変数,xが従属変数となる
-1≦x≦2のxにx=y+2を代入すると
xが独立変数,yが従属変数に戻って
-1≦y+2≦2
-3≦y≦0

補足

ご回答ありがとうございます。
再度質問なのですが、
逆像法とは「独立変数(x)を従属変数、従属変数(y)を独立変数にした上で独立変数(y)に条件を入れることによって従属変数(x)の値域(定義域？）を求める方法」だと思っていたのですが、途中でxが独立変数、yが従属変数に戻ってしまうと逆像法ではなくなってしまうような気がします。
解答全体が逆像法だとしたら逆像法とは何を持って逆像なのでしょうか？それとも最後だけ順像法なのでしょうか？定義があやふやになっています、すみませんがご回答どうぞよろしくお願いします。