環論 可逆元について

質問

下記画像の証明の中で分からないところがあります。中段の部分で
p(x)=a^-1bg(x)q(x)としていますが、このaについて、a∈Aである以外特に条件があるわけではないのにa^-1があるように記載しているのが分かりません。
(a∈Aは体ではないので任意にa^-1があるとは限らないはず…)

条件f(x)=g(x)h(x)からap(x)=bg(x)q(x)であり、g(x)q(x)が原始多項式であるところまでは分かります。
少し下の補題1.11.31というのは
原始多項式f(x),g(x)∈A[x]と0でないa,b∈Aに対して、af(x)=bg(x)をみたす時、両辺の係数の最大公約元は左辺はa、右辺はbとなるからa/bは単元である
というものです。

ご教授頂けますと幸いです。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

tmppassenger

そこの p(x)=(a^-1)bg(x)q(x) は、K[X] で考えているからです。Aの分数体がKなので、0≠a∈Aは、Kでは乗法逆元を持ちます。