ロンスキアン利用による１次独立性（線形代数学）

質問

f1(x)=(e^x)(cosx)
f2(x)=(e^x)(sinx)
f1,f2は１次独立であるかどうか？
ロンスキアン利用で解く方法があると思いますが、詳しく解き方を教えてください。

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

普通、ロンスキヤンの一次独立性を証明するには、やはり、線型同次微分方程式との関係を使って証明します。しかし、敢えて証明するとなれば、以下のようになるでしょう。

f1,f2,...,fnを関数とし、
W(f1,f2,...,fn))≠０であるとします。
c1,c2,...,cnを定数としたとき、恒等的に
c1f1+c2f2+...+cnfn＝０
が成り立つならば、
c1f1+c2f2+...+cnfn＝０
c1f1'+c2f2'+...+cnfn'＝０
c1f1''+c2f2''+...+cnfn''＝０
............................
c1f1^(n-1)+c2f2^(n-1)+...+cnfn^(n-1)＝０

がなりたちます。ところが、W(f1,f2,...,fn))≠０ですから、c1＝c2＝...＝cn＝０となります。（行列で表現された連立方程式「Ax＝０が|A|≠０であるならば、これは自明な解x＝０しか持つことができない」という定理はご存じですね）
したがって、f1,f2,...,fnは一次独立です。

ここで、少し補足をさせていただくと、No1では、
W(f1,f2,...,fn)≠０⇒関数f1,f2,..,fnは一次独立
の逆は一般的に成り立たないことをのべましたが、線型微分方程式との関係（連続、微分可能性という条件）で証明すれば、
W(f1,f2,...,fn)≠０⇔関数f1,f2,..,fnは一次独立
が成り立ちます。

それから、少しよけいなことを述べさせて頂くと、サラスの方法というのは３行３列の行列式の展開方法のことですので、２行２列の行列式の場合は特に名前はなかったような気がします。

お礼

有難うございました。

補足

非常に詳しく丁寧な回答をしていただき、誠にありがとうございます。

度々の無礼で申し上げにくいのですが、学力の低い私でもわかるように、簡単に解説して頂きたいのです。この際厳密性にはこだわらず（専門書や教科書に載っているので）、感覚的にわかるようにご教授願います。御手数をお掛けしてすみません。

回答No.2

ojisan7

マナー違反になりますので、ご自分で計算して、どこまで導けたのか、途中の計算の過程を書いて下さい。また、理解できないところはどこなのかを具体的に書いて下さい。ご自分の努力の形跡が見られない質問は削除の対象とされます。

それから、話は逸れますが、１つお伺いします。このロンスキャンはどの場面で出されたものですか。線形代数学と書いてあるのですが、実際どうでしょうか。普通は線型微分方程式の特殊解の一次独立性を論じるときに必要とされますね。

補足

行列式で１行に元の関数、２行に導関数を並べ行列式をサラスの公理で展開しe^2xになったのですが、そもそもロンスキアン利用で１次独立であることの条件がわかっていないのです。(行列式)≠０で１次独立ということができるのかという部分です。解説を見るとロンスキアン≠０となるｘ∈(実数)があるで終わっていて、よく理解できません。つまりどういうこと？となってしまっているのです。ロンスキアン自体よくわかっていないのです。それは、線形微分方程式で本来なら主に扱われるべきなのかわかりませんが（まだそういうレベルではないので）補足的に特に何の説明もなくロンスキアンがでてきたので戸惑っていました。
申し訳ありませんが、そもそもロンスキアンとは何ですか？ロンスキアンで１次独立が言える理由がわかりません。

回答No.1

ojisan7

関数f1,f2,...fnのロンスキャンをW(f1,f2,...,fn)としたとき、注意しなければならないことは、

W(f1,f2,...,fn)≠０⇒関数f1,f2,..,fnは一次独立

は成り立ちますが、逆は一般的には、成り立たないことです。

ロンスキャンを求めるには、定義の式にそのまま当てはめればよいだけのことです。

W(f1,f2)＝| f1 f2 |
　　　 | f1' f2' |

これはご自分で計算して下さい。
結果はe^(2x)となり、恒等的に０にはなりません。従って１次独立です。

お礼

回答ありがとうございます。ロンスキアンの実態が掴めません。なぜ必要十分的に成立しないのか
？です。

補足

回答ありがとうございます。

回答がいまいち理解できません（私の勉強不足で）。もう少し、詳しく薄才の私でもわかるようご教授ください。お願いします。