高さVのポテンシャル障壁をもつ一次元井戸型ポテンシャルの中を一つの電子

質問

高さVのポテンシャル障壁をもつ一次元井戸型ポテンシャルの中を一つの電子が運動している。
まず障壁の間隔がaだとする。それを瞬間的に2aまで広げた。
間隔を広げる前に基底状態あった電子が、広がった後の系の基底状態に見出だされる確率を求めよ。

この問題の解説をお願いします。厳密な答えは求めなくて結構です。

回答No.2

nuraly

某大学院の入試問題で無限の井戸型ポテンシャルの場合がありました。

最初の状態（間隔aの基底状態の波動関数）
最後の状態（間隔2aの基底状態の波動関数）

を求めてある状態から別の状態に移る場合の確率の定義に従って計算すれば求まると思います。
例えばJJ sakurai 上巻 31ページ（ケットで書いてありますが）

ちなみに、パリティ保存から基底状態から第一励起状態へ移ることはないような気がするのですが、どうなんでしょう。（下の人へ）

お礼

回答ありがとうございました。今度図書館でjjサクライ調べてみます。

回答No.1

cocacola2010

この手の問題には詳しくないので間違ってたらすいません。

障壁間隔を広げる前の基底状態を（ai）
障壁を広げた後の基底状態を(bi)
障壁を広げた後の一つ目の励起状態を(bii)
とします。

無限井戸の場合なら（ai）のエネルギーは(bii)のエネルギーと一致するので、電子の波動関数は(bii）で表せ、(bi)に見出される確率は０

有限井戸の場合では、教科書をよくよく眺めてみれば分かると思いますが、(ai)のエネルギーより（bii）のエネルギーの方が大きくなります。
つまり（ai）状態の電子のエネルギーは障壁間隔を広げた後のひとつの固有状態のエネルギーでは表せません。
よってこの電子状態は障壁間隔を広げた後のいくつかの固有状態の重ね合わせで表されることになりなります。
高いエネルギーに電子がある確率を無視するなら、
E(ai)=P(bi)E(bi)+P(bii)E(bii)
E:エネルギー
P:その状態に見出される確率
各エネルギーはエクセルなどで数値的に求まりますから
広がった後の系の基底状態に見出せる確率も分かるでしょう。