三次元デルタ関数型ポテンシャルでの束縛状態

質問

量子力学の問題です。
V=-Voδ(r-a)のポテンシャルを取る三次元デルタ関数型ポテンシャルの束縛状態を考えています。l=0の基底状態について、束縛状態となるためのVoの条件を求めたいのですが、どうしても解けませんでした。
お手数ですが解答よろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck

あっという間にすばらしい回答の数々が山のように寄せられて心強い限りですね。だから私の回答など不要でしょうが...簡単にするため1次元のデルタ関数型ポテンシャルを考えます。3次元の場合が必要かもしれませんが、3次元の場合はすでに斯界の権威による立派な回答がありますので...
関数f(x,a)が
　∫(-∞～∞)dx f(x,a) = 1　
a→∞のとき
　lim f(x,a) = 0 (x≠0 のとき）
　lim f(x,a) = ∞ (x=0 のとき）
をみたすとき、デルタ関数はf(x,a)の極限と考えることができます。ポテンシャルを
　f(x,a) = -a/2cosh^2(ax)
とした場合、
　2n < (-1 + √(1 + (4m/ah^2))
という条件で決まる有限個の束縛状態n=0, 1, 2,...
があります（ランダウ=リフシッツ「量子力学１」§23問題）
a→∞のときこれを満たすのはn=0のみ、すなわちV0の値に関わらずただ一つの束縛状態があるという結論になるかと思います

お礼

自己解決しますた。三次元の場合はV0に条件がありますよ。