井戸型ポテンシャル（JJサクライ）

質問

JJサクライ下巻のp397(5.1.15)
摂動論ではないのですが、
さらりと触れられている箇所が納得できずにモヤモヤしています。

非常に弱い一次元の井戸型ポテンシャルを考えます。

V=-V0 (|x| < a)
V=0 (|x| > a)

λ>0 の引力に対して
E = - (2ma^2)/h^2 |λV0|^2
というようなエネルギーの束縛状態がある。
(ここでhはh/2πの意味です)

このエネルギーの式はどのように導いたのでしょうか。
単純な井戸型ポテンシャルでもなさそうですし、
トンネル効果と比較してもよく分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

λが唐突に出てくるのですが、
|x|<aでV=-λV_0、あるいは同じ事ですが、ハミルトニアンをＨ＝p^2/2m + λVとしているという事でいいですね？

エネルギーＥ(<0)の束縛状態の波動関数(のうち偶関数のもの)は、
x>aで、ψ＝Ａexp(-ρx)
|x|<aで、ψ＝Ｂcos(kx)
x<-aで、ψ＝Ａexp(ρx)
のようになっています。ここで、Ｅ＝-h^2ρ^2/2m＝h^2k^2/2m -λV0です。・・・(◎)
※(λV0が大きければ)奇関数の束縛状態も存在しますが、基底状態のパリティが正なので、簡単のため奇関数の束縛状態は考えない事にします。

x=±aで、ψとその微分が連続という条件から、ρ=k tan(ka)が出てきます。・・・(☆)
※実際には、◎と☆の交点が固有状態を与えます。(もちろん、奇関数解で☆に相当する式も考える必要はあります)

λV0に関する最低次の項のみを考えると、
☆よりρ＝k^2a.これと◎から、h^2k^2/2m＝λV0となります。
故に、Ｅ＝-h^2ρ^2/2m＝-(2ma^2)/h^2 |λV0|^2となります。

お礼

すいません。V0にλをかけてポテンシャルエネルギーを
摂動のように扱っています。

大変詳しい解説ありがとうございました。大部分は理解できたのですが、
ρ=k^2 a を出す過程で ka が小さいとされていると思うのですが、
Eの形からエネルギーが低い状態はkが小さいわけだから
ka が小さい場合として計算する、という頭の動きでいいでしょうか？

回答No.2

eatern27

>Eの形からエネルギーが低い状態はkが小さいわけだから
>ka が小さい場合として計算する、という頭の動きでいいでしょうか？

そんな感じです。

数学的には、-V0<E<0とE=h^2k^2/2m -λV0から、0<h^2k^2/2m<λV0である事によります。

お礼

どうもありがとうございました。
これで気分よくJJサクライを続きから読んでいけます。
とても助かりました。ありがとうございました。