大学の線形代数についていけなくなりました

質問

現在文系の大学1年の者です。
線形代数を履修しているのですが、線形空間、線形写像、線形独立・従属、基底あたりが少し前から授業で扱われ始め、それまでわかっていた線形代数が突如わからなくなってしまいました。
あくまでも文系で、商学部にいるとはいえども今後線形代数を活用するような授業はとらない方向でいるので、とにかく理論的に間違っていても、概念的にぱっと聞いてわかるような説明が知りたいです。
同じような質問をこのサイトで検索して見つけた『すぐわかる線形代数』（石村園子著、東京図書）を買おうと思っているのですが、このサイトでもわかりやすい解説をしていただければなと思い質問しました。

まとめると、
線形空間、線形写像、線形独立・従属、基底とはイメージ的なものでかまわないので、理解するためにはどういったイメージを持てばいいか
を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

metzner · ベストアンサー

線形空間とは、「原点」、「原点を通る直線」、「原点を含む平面」を高次元に一般化した概念です。3次元に住む我々にはこれ以上(真)の線形部分空間を見ることは不可能です。「原点」、「原点を通る直線」、「原点を含む平面」に共通する特徴は、
これらの中にあるベクトル同士を足したり引いたりしても、またはスカラー倍(定数倍)しても、その結果は必ず元の直線や平面の中のベクトルになってしまします。それらの世界から(ベクトルの演算では)抜け出せないということです。
これを純粋に高次元に拡張したものが線形部分空間の概念です。だから4次元ベクトル空間には３次元線形部分空間というものが考えられるわけです。ちょうど3次元に住む我々が２次元部分空間である平面が考えられるのと同様です。

線形独立は、「0でない1つのベクトル」、「平行でない2
つのベクトル」、「同一平面内にない3つのベクトル」を高次元に一般化したような概念です。そうでないというのが線形従属です。

基底は、座標軸みたいなイメージでよくて、原点を通る直線上の点を表すには、その直線内の0でないベクトルを固定してそれを定数倍すれば十分ですし、原点を含む平面の点を指定するには、その平面内にある平行でないベクトル2つを固定した後、それらの定数倍の和で十分ということです。３次元の点なら、同一平面内にない3つのベクトルを固定したあと、それらの定数倍と和で表せます。4次元なら4つの線形独立なベクトルの組が1つあれば十分ということになりますね。

線形写像というのは比例関係y=axを高次元に一般化した概念と考えることができます。

以上まとめますと、高次元の全体象などということは所詮人間には見えません。そこで3次元までの世界で得られたことを巧く拡張して、高次元のことを同様の戦法でさぐれる所までさぐりましょうという心構えでいいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど！2次元、3次元で考えて、それのn次元があるんだな、みたいなとらえ方でなんとかなりそうですね。
詳しい解説、本当にありがとうございます。

回答No.3

metzner

No2です。最初の解説は「線形部分空間」の説明です。線形空間のなかの線型空間ということです。線形空間の説明ですが、ベクトルの演算が出来る空間のことでいいと思います。ふつうの3次元ベクトルの高次元への拡張でいいと思います。もちろん線形部分空間も線形空間です。

回答No.1

ionwide

高専の者です。
僕も去年線形代数を学びましたが、いまひとつ理解できませんでした。教えてもらった先生は京大の研究者の非常勤講師で、すごく書き方なども厳密なものでした。
僕の場合、編入学試験で線形代数が必ずでるので、復習をしなければならなかったので、基礎から理解できるように
入門書を読んで理解しました。
『理系なら知っておきたい数学の基本ノート[線形代数編]』という本です。
とても丁寧に書かれているのであなたが挙げているような事柄もイメージ的に説明されているのでスムーズに理解できると思います。
線形代数は一回理解すると、解くのが楽しい教科なので頑張ってください。

お礼

回答ありがとうございます。
『理系なら知っておきたい数学の基本ノート[線形代数編]』をチェックしてみたいと思います。