確率の問題に関しての質問です。一応解答は出せたのですが、正しいかの判断

質問

確率の問題に関しての質問です。一応解答は出せたのですが、正しいかの判断が出来かねます。良ければ回答いただけたらと思います。

子どもが両親とテニスの試合を5回行います。その際に親を三連破すると褒美がもらえます。対戦順序としては父-母-父-母―父か、母―父-母―父-母の二通りが考えられます。子どもにとっては褒美をもらうためにはどちらの順序が望ましいですか。ただし、父の方が母よりもテニスが上手です。

これに関して私が考えた解答が以下になります。

F1：1，2，3回戦に勝って三連破する
F2：2，3，4回戦に勝って三連破する
F3：3，4，5回戦に勝って三連破する
このときF1,F2,F3は背反であるから、
P(F1∪F2∪F3)=P(F1)+P(F2)+P(F3)となる―(1)

En：n回戦に子どもが勝つ事象（n＝1,2,3,4,5)
とすると、
F1=E1∩E2∩E3
F2=￢E1∩E2∩E3∩E4
F3=￢E1∩￢E2∩E3∩E4∩E5
となる―(2)

p：父に勝つ確率
q：母に勝つ確率
とすると（仮定よりp＜q）
毎回の試行は独立試行と考えられるから、
父-母ー父-母ー父の場合は(2)より、
P(F1)=pqp
P(F2)=(1-p)qpq
P(F3)=(1-p)(1-q)pqp
となる。
すなわち、父-母ー父-母ー父の場合をAとすると(1)より
A=pqp+(1-p)qpq+(1-p)(1-q)pqp―(3)
である。
同様に考えると母-父-母-父-母の場合をBとすると
B=qpq+(1-q)pqp+(1-q)(1-p)qpq―(4)
である。

(3)(4)より
A-B={pqp+(1-p)qpq+(1-p)(1-q)pqp}-{qpq+(1-q)pqp+(1-q)(1-p)qpq}
=pqp+(1-p)qpq+(1-p)(1-q)pqp-qpq-(1-q)pqp-(1-q)(1-p)qpq
=pq(p-q)+pq(q-pq-p+pq)+pq(1-p)(1-q)(p-q)
=pq(p-q)+pq(q-p)+pq(1-p)(1-q)(p-q)
=pq(p-q+q-p)+pq(1-p)(1-q)(p-q)
=pq(1-p)(1-q)(p-q)
このとき、p＜qなので
A-B＜0となり、すなわちA＜Bとなる。

ゆえに子どもにとっては、母-父-母-父-母の順序の方が有利である。

よろしくお願いします。

回答No.1

Ginzang · ベストアンサー

>En：n回戦に子どもが勝つ事象（n＝1,2,3,4,5)
>とすると、（中略）
>F3=￢E1∩￢E2∩E3∩E4∩E5
>となる―(2)
が間違い。
正しくは、3、4、5回戦に勝って3連破する際は、1回戦の勝敗は関係無く、2回戦にさえ負けていれば良いわけだから、
F3=￢E2∩E3∩E4∩E5
である。
よって、
>P(F3)=(1-p)(1-q)pqp
も、
P(F3)=(1-q)pqp
が正しい。

なお、計算をやり直せば分かるだろうが、結論自体は正しい。

余談だが、命題を否定する際の記号には、"~"（チルダ）も使われている（プログラムで使う、C言語ではそうなのである）。
いちいち"￢"と全角で打つのが手間だったら、使っても良いと思う（もちろん強制はしない）。

お礼

解答ありがとうございます。

確かに3，4，5回戦の三連破の場合は1回戦の結果は関係ありませんね。
計算し直してみた結果、結論は変わらなかったものの、式の計算結果がとても見やすくなりました。

講義ではｃ（コンプリメント）で聞いていて、それを表現する方法がない！　と思い検索したら一番上のページに￢が出ていたので使わせていただきました。
半角で入力中だったら、絶対に~の方が楽ですよね。
これからは使わせていただきます。

ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

計算する？

父のほうが母よりも強いなら、
父母父の三連覇よりも、母父母の三連覇のほうが易しい。

父母父母父と母父母父母では、
その機会がそれぞれ何回づつあるだろうか。

そんだけ。

お礼

解答ありがとうございます。

今回の質問は5回戦の3連破が条件でしたが、これを3回戦の2連破を条件とした場合、
父母父、母父母だと、
父の方が強いのですが、父とより多く戦う父母父のほうが2連破する確率が高くなるようです。
あっと驚く意外な結果が出てくることが確率では面白いと思いました。

ありがとうございました。