確率の問題で

質問

問題自体はさほど難しい問題ではないのですが、解説がどうなのか？と思ったので質問します。

Ａ,Ｂ,Ｃの３人が試合をする。まず、２人が対戦して、買った方が残りの１人と対戦する。これを繰り返して、２連勝した人が優勝する。ＡがＢ，Ｃに勝つ確率をp、qとし、ＢがＣに勝つ確率を1/2とする。次の確率を求めよ。
ただし、0<p<1,0<q<1とする。
(１) 第１戦にＡとＢが対戦し、Ａが勝った場合にＡが優勝する確率

この問題の解説では、「Ａが第１戦に勝ったもとでＡが(最終的に)優勝する確率」をＰとおいて求めています。
Ｐを計算すると、Ｐ=2q/(2-p+pq)となります。ここまではいいのですが、この後、
Ａが第１戦に勝って優勝する確率は
p*Ｐ=2pq/(2-p+pq)
として、これを答えとしています。

もし、問題が「・・・Ａが勝って、Ａが優勝する確率」とあるなら、何も疑問に思うことはないのですが、問題では「・・・Ａが勝った場合に、Ａが優勝する確率」とあるので、第１戦でＡが勝ったという条件で、Ａが優勝する確率を求めればいいので、
答えは、Ｐ=2q/(2-p+pq)
ではないかと思うのです。

第１戦にＡが確率pをかける必要はあるのでしょうか？

回答No.2

hatman34 · ベストアンサー

質問者の方の解釈が正しいですね。
条件付確率を要求している問題と解釈すべきでしょう。

こういう問題が入試のような一発勝負に出て、正解を不正解として採点されちゃあたまらないですね。

そういうあいまいな問題に対しては、解答の冒頭で、問題をどのように解釈したかを明記しておくのが自衛策として望ましいですね。

ただし、日本語で「・・・して、・・・」という場合の「て」には、「・・・すると同時に」という意味が隠されている場合もありますよね。出題者に好意的に解釈すると、「初戦で勝つと同時にではなくて・・・」という意味を込めたかったんじゃあないでしょうか。

お礼

＞問題をどのように解釈したかを明記しておくのが自衛策として望ましいですね。
なるほど。それはいいですね。
でも、この問題では、何も考えずに条件付き確率と解釈したので、その自衛策がとれるか微妙ですね。

回答ありがとうございました。

回答No.3

ymmasayan

No.1のymmasayanです。補足にお答えします。

＞ymmasayanさんはどっちに解釈しましたか?

私も条件確率と思いました。読み直してみて別の取り方もないではないと思いました。

お礼

回答ありがとうございます。
やっぱり条件付き確率だと思いますよね！

ところで、(３)は「第１戦でＢとＣが対戦する場合に、Ａが優勝する確率」を求める問題です。(１)が条件付き確率でないなら、(３)も同じだから、「第１戦でＢとＣが対戦する確率」を求めなければいけませんね(笑)

回答No.1

ymmasayan

これは言葉の解釈の違いですね。私もいつも良く迷います。

Ａが優勝する確率を考えると
（１）第１戦に勝ってそのあと優勝する
（２）第１戦に負けてそのあと優勝する
の２つに分けられます。
このうちの（1）を言っていると思います。たしかに紛らわしいですね。

補足

回答ありがとうございます。

ymmasayanさんはどっちに解釈しましたか?

私にはどうしても、「第１戦にＡが勝って、(なおかつ）Ａが優勝する」とは解釈できません。