大学の確率論の問題です。

質問

大学の確率論の問題です。　
完備性について教えてください。　

(Ω、Ｆ、P)な確率空間とする。
このとき、A∈Ｆ
Ａ△Ａ'⊂ＢかつＰ(Ｂ)=0　
ならばA∈ＦかつＰ(A)=Ｐ(A')

△は対称素です。　

よろしくお願いします。

回答No.2

Anti-Giants · ベストアンサー

(X,F,P)が完備の定義は
「N∈F,A⊂N,P(N)=0 ⇒ A∈F」

D=AΔA'とする
^cは補集合

完備を仮定すると
A∈F,D⊂B,P(B)のとき
完備性より、B∈F,D∈F
(#)A' = D∩A^c + A∩D^c
A∈F,D∈F、よりA'∈F.
また(#)よりP(A')≦P(D)+(A)=P(A).
A'とAを入れ替えても(#)は成り立つのでP(A)≦P(A').
よってP(A)=P(A')

「A∈F,A△A'⊂B,P(B)=0ならばA'∈FかつP(A)=P(A')」を仮定する
N∈F,A⊂N,P(N) = 0のとき
NΔA = N∩A^c + A∩N^c = N∩A^c ⊂N、P(N) = 0
仮定より、A∈F

こういうことかな？

回答No.1

Anti-Giants

何を訊きたいのかな？

補足

これを証明してください。