次の確率分布の問題の解答解説をお願いします。

質問

確率変数Xの分布関数が以下で与えられるときP(-2=<X<=1/2),E(X),V(X)を求めよ。
(a)
F(x)=
0 (x<-1),
1/2 (-1=<x<0),
5/6 (0=<x<3),
1 (3=<x)

(b)
F(x)=
0 (x<0),
(x^2)/2 (0=<x<1),
-(x^2)/2 + 2x – 1 (1=<x<2),
1 (2=<x)

回答No.1

jcpmutura

(a)
F(x)=
0 (x<-1),
1/2 (-1≦x<0),
5/6 (0≦x<3),
1 (3≦x)

P(-2≦X≦1/2)=F(1/2)-F(-2)=5/6

E(X)
=(-1)(1/2)+0*(5/6-1/2)+3*(1-5/6)
=-1/2+3/6
=0

V(X)
=E(X^2)-E(X)^2
=E(X^2)
=(-1)^2*(1/2)+0^2*(5/6-1/2)+3^2*(1-5/6)
=(1/2)+(3/2)
=2

(b)
F(x)=
0 (x<0),
(x^2)/2 (0≦x<1),
-(x^2)/2 + 2x – 1 (1≦x<2),
1 (2≦x)

P(-2≦X≦1/2)=F(1/2)-F(-2)=1/8

E(X)
=∫_{0～1}(x^2)dx+∫_{1～2}(2x-x^2)dx
=[x^3/3]_{0～1}+[x^2-x^3/3]_{1～2}
=1/3+4-8/3-1+1/3
=3-6/3
=1

V(X)
=E(X^2)-E(X)^2
=∫_{0～1}(x^3)dx+∫_{1～2}(2x^2-x^3)dx-1
=[x^4/4]_{0～1}+[2x^3/3-x^4/4]_{1～2}-1
=1/4+16/3-16/4-2/3+1/4-1
=1/2+14/3-5
=1/6