確率の問題です

質問

あるゲームでの話ですが仮にSという名前のアイテムがあります。
アイテムを強化していくのですが、状態がA、B、C、C、D、Eと変化していきます。（Eが一番強い状態）

それぞれの状態へ強化する為のコストがあり単位はP（ポイント）とします。
A→Bへの強化チャレンジのコスト　165P
B→Cへの強化チャレンジのコスト　165P
C→Dへの強化チャレンジのコスト　330P
D→Eへの強化チャレンジのコスト　385P

それぞれの状態への強化チャレンジは失敗もあり、状態変化の確率は以下とします。
A→B　A→Bへ100％変化
B→C　B→Cへ29％で変化　Bのまま54％　B→Aへ17％で転落
C→D　C→Dへ18％で変化　Cのまま57％　C→Bへ25％で転落
D→E　D→Eへ11％で変化　Dのまま60％　D→Cへ29％で転落

Q1
それぞれの状態を行ったり来たりしながら、最終的にEに辿り着くまでにかかる総コストの平均はどれくらいでしょうか？

Q2
C→Dへのチャレンジの時に、C→Bへ25％で転落する事を選ばれた時にその効果を無効化して
Cのまま滞留させるアイテムがあるとして、そのアイテムの価値（P：ポイント換算で）はどれくらいでしょうか？

Q3
Q2と同様に、
D→Eへのチャレンジの時に、D→Cへ29％で転落する事を選ばれた時にその効果を無効化して
Dのまま滞留させるアイテムがあるとして、そのアイテムの価値（P：ポイント換算で）はどれくらいでしょうか？

Q1～3の計算をする時の考え方と計算方法のアドバイスもあれば併せてお願いします。

回答No.4

MagicianKuma

アイテムをどの時点で手に入れることができるのかが関係しますね。
１．チャレンジをする前にアイテムを購入しなければいけない場合。チャレンジに失敗する（転落）だろうの確率を掛けて、
　　Q２：666*0.25≒166
　　Q３：2728*0.29≒800
２．チャレンジに失敗（転落）した事が分かったあとアイテムを購入できる場合。
　　Q２：666
　　Q３：2728

回答No.3

MagicianKuma

蛇足
No1さんのQ2,Q3の回答は、アイテムが何回でも使用できる場合の価値だと思われます。
私の答えは、1回使用すると無効になるアイテムの場合で計算しています。

お礼

書き忘れてました
仰るとおりに、Q2.3のアイテムは1回使用で消える仕様でした。

補足

Q2.3のアイテムですが、チャレンジに失敗が選ばれた時のみ消滅するのではなく
成功しても現状維持が選ばれても消えてしまいます。
つまり、結果に関係なくチャレンジ時に自動で消えるようになっています。

説明不足で申し訳ありませんでしたが、この仕様を考慮するといろいろと
考え方や計算が変わってくると思います。

この件を考慮した場合の適正なコスト算出が知りたいです。

回答No.2

MagicianKuma

次の様に考えてはどうでしょう。
いま状態Xにあるとします。状態Xの1つ上の状態をYとします。
状態Xから状態Yに初めて到達するまでの平均コストをC(X→Y)とします。
１．X=Aの時　C(A→B)＝165
２．X=Bの時　C(B→C)=165*0.29+(165+C(B→C))*0.54+(165+C(A→B)+C(B→C))*0.17
３．X=Cの時　C(C→D)=330*0.18+(330+C(C→D))*0.57+(330+C(B→C)+C(C→D))*0.25
３．X=Dの時　C(D→E)=385*0.11+(385+C(D→E))*0.60+(385+C(C→D)+C(D→E))*0.29
これらは、上から順に前に数値を代入すれば解けます。
C(A→B)＝165
C(B→C)≒666
C(C→D)≒2758
C(D→E)≒10771

Q１：よって、C(A→E)はこれらを合計して、約14360　No1さんの答えと一致です。
Q２：C→Dへのチャレンジの時にBに転落するとすると、再びCに戻るのに、平均で上記C(B→C)≒666が必要になります。なので、Cのまま滞留させるアイテムがあるとして、そのアイテムの価値を666と考えることもできます。
Q３：Q２と同様に考えて、Dのまま滞留させるアイテムがあるとして、そのアイテムの価値を2758と考えることもできます。

Q2,Q3に歯切れの悪い回答をしたのは、アイテムの価値は単純に期待値とするわけにはいかないという、人間心理の問題も絡むからです。
ポイントを重要視するゲームなら、アイテムを使用（購入）するために確実に必要なコストと、ひょっとしたら少ないコストで復活できる可能性を比較し、強気のギャンブラーならアイテム使用を避けるかもしれません。はやくEレベルに達するのが重要なゲームであれば、アイテムの価値は大きいでしょうね。

お礼

ありがとうございます。
仰るとおりにプレイヤーの心理で価値は上下するのですが
数学的に計算した場合のコストが知りたかったので、大変参考になりました。

回答No.1

nag0720

Q1
n回チャレンジしたの時の、
それぞれの状態になる確率をa[n],b[n],c[n],d[n],e[n]
それまでに掛かった総コストをA[n],B[n],C[n],D[n],E[n]
とすると、次の漸化式が成り立つ。

a[n]=b[n-1]×0.17
b[n]=a[n-1]×1.00+b[n-1]×0.54+c[n-1]×0.25
c[n]=b[n-1]×0.29+c[n-1]×0.57+d[n-1]×0.29
d[n]=c[n-1]×0.18+d[n-1]×0.60
e[n]=d[n-1]×0.11+e[n-1]×1.00

A[n]=(B[n-1]+165×b[n-1])×0.17
B[n]=(A[n-1]+165×a[n-1])×1.00+(B[n-1]+165×b[n-1])×0.54+(C[n-1]+330×c[n-1])×0.25
C[n]=(B[n-1]+165×b[n-1])×0.29+(C[n-1]+330×c[n-1])×0.57+(D[n-1]+385×d[n-1])×0.29
D[n]=(C[n-1]+330×c[n-1])×0.18+(D[n-1]+385×d[n-1])×0.60
E[n]=(D[n-1]+385×d[n-1])×0.11+E[n-1]×1.00

初期状態を、
a[0]=1、b[0]=c[0]=d[0]=e[0]=0
A[0]=B[0]=C[0]=D[0]=E[0]=0
として、この計算式をエクセルに入れると、1000回くらいで安定し、
Eにたどり着く総コストは14359.42となる。

Q2
C→Bを無効化してCに滞留させた場合、上記の計算式は、
b[n]=a[n-1]×1.00+b[n-1]×0.54
c[n]=b[n-1]×0.29+c[n-1]×0.82+d[n-1]×0.29
B[n]=(A[n-1]+165×a[n-1])×1.00+(B[n-1]+165×b[n-1])×0.54
C[n]=(B[n-1]+165×b[n-1])×0.29+(C[n-1]+330×c[n-1])×0.82+(D[n-1]+385×d[n-1])×0.29
となる。
これで計算すると、Eにたどり着く総コストは10997.36となるので、
このアイテムの価値は3362.06とみなすことができる。

Q3
D→Cを無効化してDに滞留させた場合、上記の計算式は、
c[n]=b[n-1]×0.29+c[n-1]×0.57
d[n]=c[n-1]×0.18+d[n-1]×0.89
C[n]=(B[n-1]+165×b[n-1])×0.29+(C[n-1]+330×c[n-1])×0.57
D[n]=(C[n-1]+330×c[n-1])×0.18+(D[n-1]+385×d[n-1])×0.89
となる。
これで計算すると、Eにたどり着く総コストは7088.59となるので、
このアイテムの価値は7270.83とみなすことができる。

お礼

ありがとうございました。