微分法の質問です。

質問

微分法の質問です。

問）方程式x^3-3ax+4√2=0（aは定数）について、異なる実数解の個数を調べよ。

どうか解説をお願いします。

回答No.2

alice_44

a の値によって三次関数のグラフの形が変わると、
図を書いて考えるのが難しいかもしれない。

そんなときは、方程式を
x^3 + 4√2 = (3a)x　もしくは　(x^3 + 4√2)/(3x) = a
とでも変形して、左辺の関数のグラフを書けば
多少考えやすくなると思う。

y = x^3 + 4√2 は極値を持たない三次関数のグラフだから、
原点を通る直線 y = (3a)x が a の値に従って回転してゆくとき、
a がある値より大きければ、x > 0 に２個、x < 0 に１個交点があるし、
a がそれより小さければ、x < 0 に１個の交点があるだけとなる。
境目になるのは、y = x^3 + 4√2 と y = (3a)x が接する場合で、
y = x^3 + 4√2 = (3a)x と dy/dx = 3x^2 = 3a を連立して
x を消去して a について解けば、a = 8 を得る。

お礼

こういった解き方は思いつかなかったのでとても参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.1

Hyokko_Lin

f(x)=x^3-3ax+4√2
とします。
f'(x)=3x^2-a3x
であるので、f'(x)=0となるのは、
x=±√a
のときになります。
f(x)の増減表を書くと、（省略）
よって、
x=-√aのとき、極大値2√a+4√2
x=√aのとき、極小値-2√a+4√2

ここで、極大値2√a+4√2>0であり、
1)a>8のとき
極小値-2√a+4√2<0
より、y=f(x)は、x軸と3回交わるので、f(x)=0の実数解は3つ。
2)a=8のとき
極小値-2√a+4√2=0
より、y=f(x)は、x軸と2回交わる（うち1回はx=2√2で接します）、f(x)=0の実数解は2つ。
3)a<8のとき
極小値-2√a+4√2>0
より、y=f(x)は、x軸と1回交わるので、f(x)=0の実数解は1つ。

よって、
a>8のとき、3つ
a=8のとき、2つ
a<8のとき、1つ

グラフの概形を書いて、どこにx軸が来るかを考えましょう。
今回の問題では、極大値が常に正なので、x軸の位置としては、
1)極大値と極小値の間　2)極小値と一致　3)極小値より小さい
が考えられますね。
それぞれについて、aの満たす範囲を求めればよいのです。

お礼

分かりやすく教えてくださってありがとうございます。