常微分方程式の解

質問

大学院試験の過去問題をやっていましたが、解答がないため質問させていただきます。

関数ｙは次の常微分方程式

　　x+2ayy'-ax(y')^2=0

を満足する。ただしaは0でない定数とする。以下の問いに答えよ。

（１）与式をxで微分せよ
（２）問（１）の結果を用いて、与式よりyを消去せよ
（３）a=2のときの一般解を求めよ
（４）a=-2のときの一般解および特異解を求めよ

以下、間違ってるかもしれませんが、自力で出来たところまで記述

（１）1+2a(y')^2+2ay(y'')-a(y')^2-2ax(y')(y'')=0
　　　よって
　　　1+a(y')^2+2ay(y'')-2ax(y')(y'')=0

（２）上の式を2ay=・・・と整理し与式に代入しましたがその後の操作が分かりません

（３）、（４）手付かずです。
（２）が解ければ自力で解ける可能性もあると思っています。

回答No.3

Meowth

x+2ayy'-ax(y')^2=0
1+2ayy''+ay'^2-2axy'y''=0
y=(axy'^2-x)/(2ay')
y=-(ay'^2-2axy'y''+1)/(2ay'')
(axy'^2-x)/(2ay')+(ay'^2-2axy'y''+1)/(2ay'')=0
通分して分子=0とすると、
[分母は2ay'y'']
(y'-xy'')(ay'^2+1)=0
(y'/x)=2C y'=2Cx
y=Cx^2+D
もとの式に代入して
(4aCD+1)x=0
CD=-1/(4a)
a=2のとき
CD=-1/8
y=Cx^2-1/(8C)
(y'-xy'')(2y'^2+1)=0
a=-2のとき
CD=1/8
y=Cx^2+1/(8C)
特異解 は分母=0から
y'=0は解でない
y''=0のとき
y'=C
y=Cx+D
もとの式に代入して
x+2ayC-axC^2=0
2aCD+(aC^2+1)x=0
D=0　
C=±√(-１/a)
したがって、
a=-2のときは特異解 があって
y=±x/√2

補足

ありがとうございます！

特異解 は分母=0から
というところが分かりません。

回答No.2

nious

yを消すと、{1+a(y')^2}*(xy''-y)=0

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

noname#66248

求めた 2ay=・・・を元の式に代入すればよいのでは？

補足

ありがとうございます！