行列の冪乗と証明についての質問

2010/06/30 21:12

このQ&Aのポイント

行列の冪乗と証明についての質問です。
具体的な行列を用いて、一般のｎについての形を証明する方法を教えてください。
また、数学的帰納法による証明の書き方についても教えていただきたいです。

行列です。基本だと思うのですが，教えてください。読みにくいと思いますが

行列です。基本だと思うのですが，教えてください。読みにくいと思いますが，よろしくお願いします。 (1)a=［1 1 ］＿＿［0 1 ］としたとき，a^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。 (2)b=［1 1 1］＿＿［0 1 1］＿＿［0 0 1］としたとき，b^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。 (3)c=［1 1 1 1］＿＿［0 1 1 1］＿＿[0 0 1 1］＿＿［0 0 0 1］としたとき，c^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。 (4)D=［cosφ -sinφ］＿＿［sinφ cosφ］としたとき，D^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。 (5)G=［cosθ sinθ］＿＿［sinθ -cosθ］としたとき，G^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。 (1)については，a^n=［1 ｎ］＿＿＿＿＿＿＿＿［0 1 ］がわかり，数学的帰納法で，a^n+1のときも出したのですが，証明の書き方に自信がありません。 (2)については，b^2=［1 2 3 ］c^3=［1 3 6 ］＿＿＿＿＿＿＿＿［0 1 2 ］＿＿［0 1 3] ＿＿＿＿＿＿＿＿［0 0 1 ］＿＿［0 0 1］という風に，b^4，ｂ^-1，b^-2，b^-3あたりを計算したのですが，規則性がどうしてもわかりません。 (3)についても，c^2=［1 2 3 4］c^3=［1 3 6 10］＿＿＿＿＿＿＿＿［0 1 2 3］＿_［0 1 3 6］＿＿＿＿＿＿＿＿［0 0 1 2］＿_［0 0 1 3］＿＿＿＿＿＿＿＿［0 0 0 1］＿ _［0 0 0 3］という風に，c^4，c^-1，c^-2，c^-3あたりを計算したのですが，規則性がどうしてもわかりません。 (1)は，証明(数学的帰納法)の書き方を，(2)(3)については，一般のｎを，(4)(5)については，最初から教えてもらえませんか。よろしくお願いします。