数学的帰納法の問題です。

質問

数列{ａn}が、ａ1＝1/2　ａ2＝1/6
[ａn＋ａ(n＋1)＋ａ(n＋2)]/３＝１/[ｎ(ｎ＋３)]
を満たしている。

(1)ａ3 ，ａ4を求めよ。

(2)ａnを推定し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

上のような問題に出くわし、困っています…。
(1)は、私の計算が正しければ、
ａ3＝1/12 ，ａ4＝1/20
となり、
一般項は、ａn＝1/[n^2＋n]
と推定できると思うのです…が、どう証明をしていいのかが分かりません。
読みにくくて申し訳ないですが、どなたか詳しい方、回答お願いします。

回答No.1

incd · ベストアンサー

計算も推定もあっています。

a_n = 1/[n(n+1)] (n = 1,2,..)を
数学的帰納法で証明するために、まず

n = 1, 2 で満たすことを確認（これは明らか）。

次に、n = k, k+1 のときに正しいことを仮定すると、
a_k = 1/[k(k+1)], a_(k+1) = 1/[(k+1)(k+2)].

[a_n＋a_(n+1)＋ａ_(n+2)]/3 = 1/[n(n+3)] に n = kを代入して
a_(k+2) について整理すると、
a_(k+2) = 1/[(k+2)(k+3)]になるはず。

これにより、
n = 1, 2で成り立つ⇒n = 3でも成り立つ。
n = 2, 3で成り立つ⇒n = 4でも成り立つ。
……
という連鎖が作れるので、すべての自然数につき証明されたことになります。

ちなみに、計算を簡単にするためのコツですが、部分分数分解を用いるとよいでしょう。

1/[n(n+1)] = 1/n - 1/(n+1)
1/[n(n+3)] = [1/n - 1/(n+3)]/3

この変形をほどこすと、項がキャンセルされてとても楽に解けます。

部分分数分解の方法については
http://kisuke.hit.ac.jp/math/e1(19-28).pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction
などを参照。

お礼

n = k, k+1の２項で仮定をするところがポイントだったんですね☆★
とても分かり易い回答でした(・ω・)
これですっきりして、あさっての国立２次に臨めます！笑
早速の回答ありがとうございました！