相加平均相乗平均について

質問

Ａ、Ｂが共に正のとき

（Ａ＋Ｂ）／２≧√ＡＢ

というのは高１で習ったのですが、最近数３の別解の際に
３つの数字でも相加平均相乗平均がなりたつと予備校の先生が
言ってました。

Ａ＋Ｂ＋Ｃ／３≧３√ＡＢＣ　（←ＡＢＣ三乗根）　

そこで疑問に思ったのですが
これは一般に

Ａ＋Ｂ＋・・・Ｎ番目／Ｎ≧Ｎ√ＡＢ・・・Ｎ

が成り立つといえるのでしょうか？
また成り立つとすれば数学的帰納法で証明するののだと思いますが
証明もしていただければと思います。
証明をしているＵＲＬを教えていただけるのであればそれでも構いません

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

他にも検索すればあるかも知れませんが,
例え下記URLなどはどうでしょう.

http://www.interq.or.jp/student/suugaku/mondai/heikinn/heikin.htm

回答No.3

oshiete_goo

先ほどと重なるかも知れませんが(たどれば中身は同じ？)
http://www.interq.or.jp/student/suugaku/taiwa/node108.html
の方が見やすいようです.

凸関数を使う
特殊な関数を使う
数列だけで(工夫して)解く

などいろいろです．

回答No.1

i536

一般にｎ個の正数a1,a2,...,aNに対して、

(a1+a2+...+aN)/N >= (a1*a2*...*aN)^(1/N) >= N/((1/a1) + (1/a2) + ... + (1/aN))

それぞれ、相加平均 >= 相乗平均 >= 調和平均　が成立します。

証明は、対数関数logXが上に凸であることを利用します。

ｎ個の点、(a1,log a1),(a2,log a2),...,(aN,log aN)からできる、
凸角形を考えます。

j1+j2+...+jN=1,かつすべての ji>=0(i=1...N) ---(1)
とするとき、ベクトルの計算から、
点p = (j1*a1+j2*a2+...+jN*aN,j1*loga1+j2*loga2 + ...+jN*logaN)　
は、上記凸角形の内部に含まれることがわかります。

そこで、点ｐのｘ座標をlogXに代入した値と、点ｐのｙ座標を比較すると(2)が成立します。

j1*(log a1)+j2*(log a2) + ...+jN*(log aN) <= log(j1*a1+j2*a2+...+jN*aN) ---(2)

(2)で、j1=j2=...=jN=(1/N)とおけば、
((log a1)+(log a2) + ...+(log aN))/N <= log((a1+a2+...+aN)/N) ---(3)
(等号は a1=a2=...=aN=1 のとき)
(3)から、log を外すと、

(a1*a2*...*aN )^(1/n)<=(a1+a2+...+aN)/N
(等号は a1=a2=...=aN=1 のとき).