この問題の採点をお願いします。

質問

tは0< t <πを満たす実数とする。

a[n]は数列です。

a[1] = cos t/2
a[n] = a [n-1](cos t/2^n) (n= 2, 3, ・・)

のときに、a[n]をtを用いて表せ。

-------

いま
0< t <π, n≧2より, 0 < t/2^n <π/2^2=π/4より、0 < cos t/n^2である。

0< t/2 <π/2より

次に、a[1] = cos t/2 > ０である。つまり正、したがって、a[2] > 0となる。順次、この議論を
繰り返せば、帰納的にa[n] > 0である。

次に与式の対数(底はe)を取る
n≧2のとき

log a[n] = log a[n-1] + log cos t/2^n
log a[n-1] = log a[n-2] + log cos t/2^(n-1)
・・
log a[2] = log a[1] + log cos t/2^2

上記を足し算すれば、log a[n] = log a[1] + log cos t/2^2 + ・・ + log cos t/2^(n-1) + log cos t/2^n

log a[n] = log cos t/2 ・cos t/2^2 + ・・cos t/2^(n-1) ・cos t/2^n

となる。

---------------b

ここで、
cos t/2 = sin t /2sin t/2
cos t/2^2 = {sin 2・t/4} / { 2sin t/4 }・・ cos t/2^n = {sin t/2^(n-1)} / {2sin t/2^n}

となり、上記に代入して、分子分母を消去すると、a[n] = sin t / {2^n sin t/n^2}

となる。

一応最後の答えは一致したのですが、不安なのが、-----------bより下の部分です。
やっぱり、cos t/2^n = 2sin t/2^n cost/2^n/ 2sin t/2^n
を帰納法で証明したほうがいいですか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

採点基準は、出題者にしかわかりません。
答えの値だけ合っていれば十分かもしれません
が、論証が採点対象である可能性を考えたら、
帰納法の形式は踏んだほうがよいでしょう。

それから、--------b 以前の部分は要りません。
直接 a[n] に帰納法を使えば、log は必要がない。
cos t/(2のn乗) ＞ 0 を示す位なら、その手間で、
sin t/(2のn乗) ＞ 0 を示しておくべきです。
--------b 以降の部分で分母が 0 にならない
ことは、保証しておく必要があります。
この点は、減点の可能性があるでしょう。

回答No.1

Tacosan

cos t/2^n = 2sin t/2^n cost/2^n/ 2sin t/2^n
って, どう読めばいいの?